Rozwiń funkcję w szereg potęgowy

[strefa61]

Cześć, mam rozwinąć funkcję w szereg potęgowy o środku \(\displaystyle{ 0}\):
\(\displaystyle{ f \left( x\right) = \frac{i}{2\left( x+i\right) } \ \ , x\in\CC}\)
pytanie czy dobrze to robię:
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \frac{i}{2} \frac{}{} \frac{1}{x+i} = \frac{i}{2} \cdot \frac{1}{x-0+0+i}= \frac{i}{2} \cdot \frac{1}{i} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x-0}{0-i} }= \frac{1}{2} \codt \frac{1}{1- \frac{x}{i} } = \frac{1}{2} \sum_{ n=0 }^{\infty} \left( \frac{-x}{i} \right)^{n-1}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sum_{ n=0 }^{\infty} \left( \frac{-1}{i} \right)^{n-1} x^{n-1}}\)
Jeszcze tylko wyznaczam dziedzinę: \(\displaystyle{ \left| \frac{x}{i} \right| < 1 \Rightarrow x \in K(0,1)\subset \CC}\)
Czy to rozwinięcie jest w porządku?

[Premislav]

Rąbnąłeś się w indeksach (albo suma powinna być od \(\displaystyle{ 1}\), albo w wykładnikach \(\displaystyle{ n}\), a nie \(\displaystyle{ n-1}\)), poza tym \(\displaystyle{ \frac{-1}{i}=i,}\) więc można prościej to zapisać, ale idea rozwiązania jest dobra.