Całka z residuum

41421356 · Post autor: **41421356** » 13 lut 2019, o 01:21

\(\displaystyle{ \oint_C\cot z dz}\)

gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest dodatnio zorientowany okręgiem o środku w \(\displaystyle{ z_0=1}\) i promieniu \(\displaystyle{ R=3}\). Nie mam pomysłu jak się za to zabrać.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 13 lut 2019, o 10:57

W tym okręgu masz dwa punkty, w których poszukasz residua:

\(\displaystyle{ z= \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}}\)

Bieguny jednokrotne...

A jak masz biegun jednokrotny residuum policzysz z uproszczonego wzoru:

\(\displaystyle{ Res\left[ \frac{f(z)}{g(z)} \right]_{z_{0}= \frac{\pi}{2}}= \frac{f( \frac{\pi}{2} )}{g'( \frac{\pi}{2} )}}\)

gdzie w Twoim przypadki będzie to sinus i cosinus w tangensie...

Oj rąbnąłem się robiłem tak jak dla funkcji tangens a tu jest cotangens bo nie zauważyłem , ale wszystko tak samo idzie odtworzyć, na pewno zmienią się bieguny...

41421356 · Post autor: **41421356** » 13 lut 2019, o 13:02

A mógłbyś mi wyjaśnić dlaczego akurat te dwie wartości Tobie wyszły dla funkcji kotangens?

-- 13 lut 2019, o 14:04 --

Ok, a tam nie powinno być przypadkiem pochodnej z funkcji f w liczniku?-- 13 lut 2019, o 14:33 --Przeliczyłem to i mam pytanie, czy wartość tej całki wynosi zero?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 13 lut 2019, o 13:41

Ja liczyłem dla funkcji tangens nie cotangens i tam wyjdą ciut inne bieguny w tym kole

u ciebie będzie:

\(\displaystyle{ f(z)=\cos z , g(z)=\sin z}\)

musisz policzyć bieguny czyli miejsca gdzie sinus się zeruje w tym kole...

i skorzystać ze wzoru...

41421356 · Post autor: **41421356** » 13 lut 2019, o 15:16

Policzyłem już i ponawiam swoje pytanie Czy wartość tej całki wynosi zero?

Lider_M · Post autor: **Lider_M** » 13 lut 2019, o 16:18

arek1357 pisze: A jak masz biegun jednokrotny residuum policzysz z uproszczonego wzoru:

\(\displaystyle{ Res\left[ \frac{f(z)}{g(z)} \right]_{z_{0}= \frac{\pi}{2}}= \frac{f( \frac{\pi}{2} )}{g'( \frac{\pi}{2} )}}\)

Trzeba jeszcze coś założyć dodatkowego, bo np. w przypadku funkcji \(\displaystyle{ \frac{z}{\sin^2z}}\) w zerze to nie działa.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 13 lut 2019, o 16:45

Trzeba założyć, że obie funkcje są analityczne w punkcie i punkt jest jednokrotnym pierwiastkiem g,
i wartość pochodnej jest różna od zera...

41421356 · Post autor: **41421356** » 13 lut 2019, o 17:07

Ok, a może mi Ktoś z Was odpowiedzieć czy mój wynik jest poprawny?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 13 lut 2019, o 19:40

Pokaż jak liczyłeś...

41421356 · Post autor: **41421356** » 14 lut 2019, o 00:21

Cofam swoje poprzednie słowa. Teraz już się doliczyłem, a poprawny wynik to \(\displaystyle{ 4\pi i}\). Dziękuję za pomoc.

Matematyka.pl