Promień zbieżności szeregu

[Mondo]

Witam,

Zgodnie z definicją \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = L}\)
oraz dla:

\(\displaystyle{ L < 1}\) - szereg jest zbieżny,
\(\displaystyle{ L > 1}\) lub \(\displaystyle{ L = \infty}\) szereg jest rozbieżny
\(\displaystyle{ L = 1}\) - szereg nieokreślony

Pierwsze pytanie jest takie, jak szereg który ma granicę \(\displaystyle{ L}\) np. równą \(\displaystyle{ 2}\) może nie być zbieżny? W końcu ma granicę, a więc do czegoś dąży tak?

Idać dalej, definicja podaje iż dla \(\displaystyle{ L \neq 0}\) promień zbieżności wynosi \(\displaystyle{ R = \frac{1}{L}}\). Jak zostało to wyliczone?

Jak rozumieć ten promień zbieżności? Jest on dla szeregu potęgowego zdefiniowany jako \(\displaystyle{ R = \left| z - z_{0}\right|}\) więc znaczy to, iż ciąg będzie zbieżny tylko dla takich \(\displaystyle{ z}\), których odległość od \(\displaystyle{ z_{0}}\) jest mniejsza od \(\displaystyle{ R}\). Natomiast nie bardzo czuję dlaczego dla \(\displaystyle{ z = R}\) szereg miałby się nagle *rozjechać*?

[a4karo]

Witam,

Zgodnie z definicją \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = L}\)
oraz dla:

\(\displaystyle{ L < 1}\) - szereg jest zbieżny,
\(\displaystyle{ L > 1}\) lub \(\displaystyle{ L = \infty}\) szereg jest rozbieżny
\(\displaystyle{ L = 1}\) - szereg nieokreślony

Pierwsze pytanie jest takie, jak szereg który ma granicę \(\displaystyle{ L}\) np. równą \(\displaystyle{ 2}\) może nie być zbieżny? W końcu ma granicę, a więc do czegoś dąży tak?

Przecież to nie szereg (rozumiany jako granica ciągu sum częściowych) ma tę granicę. \(\displaystyle{ L}\) jest granicą ilorazu kolejnych wyrazów i jest kompletnie niezależna od sumy szeregu (nawet jeżeli taka istnieje)

Idać dalej, definicja podaje iż dla \(\displaystyle{ L \neq 0}\) promień zbieżności wynosi \(\displaystyle{ R = \frac{1}{L}}\). Jak zostało to wyliczone?

JAk przeczytasz dowód kryterium to zrozumiesz. Z grubsza mówiąc chodzi o porównanie z szeregiem geometrycznym

Jak rozumieć ten promień zbieżności? Jest on dla szeregu potęgowego zdefiniowany jako \(\displaystyle{ R = \left| z - z_{0}\right|}\) więc znaczy to, iż ciąg będzie zbieżny tylko dla takich \(\displaystyle{ z}\), których odległość od \(\displaystyle{ z_{0}}\) jest mniejsza od \(\displaystyle{ R}\). Natomiast nie bardzo czuję dlaczego dla \(\displaystyle{ z = R}\) szereg miałby się nagle *rozjechać*?

Są przypadki kiedy szereg jest zbieżny na jednym lub obu końcach przedziału zbieżności, ale te przypadki trzeba badać osobno, bo kryterium ich nie chwyta.

No \(\displaystyle{ \sum \frac{x^n}{n}}\) jest zbieżny w \(\displaystyle{ x=-1}\), a rozbieżny w \(\displaystyle{ x=1}\), a szereg \(\displaystyle{ \sum x^n}\) jest rozbieżny na obu końcach, zaś \(\displaystyle{ \sum \frac{x^n}{n^2}}\) jest zbieżny na obu końcach.

[Mondo]

Idać dalej, definicja podaje iż dla \(\displaystyle{ L \neq 0}\) promień zbieżności wynosi \(\displaystyle{ R = \frac{1}{L}}\). Jak zostało to wyliczone?

JAk przeczytasz dowód kryterium to zrozumiesz. Z grubsza mówiąc chodzi o porównanie z szeregiem geometrycznym

Mógłbyś pokazać mi to porównanie i dojście od tego iż w przypadku gdy
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }\left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| = L}\)

to:

\(\displaystyle{ R = \frac{1}{L}}\)

Z góry dziękuję.

[a4karo]

Znajdziesz to w dowolnym podręczniku, który traktuje o szeregach potęgowych

[Mondo]

Znajdziesz to w dowolnym podręczniku, który traktuje o szeregach potęgowych

Gdyby tak bylo, nie pisal bym tutaj...
Znalazlem tylko na sztywno podany wzór ktory mowi jak wyznaczyc R kiedy z obliczonej granicy mamy L - ale z czego to wynika już nie mogę znaleźć..

[a4karo]

A mogę wiedzieć do jakich podręczników zaglądałeś?

-- 28 sty 2019, o 14:56 --

Albo poczytaj sobie o kryterium d'Alemberta zbieżności szeregow. Co ono mówi w przypadku szeregu potegowego?

[Mondo]

Pewnie:

- Krysicki Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach tomy 1,2
- A First Course in Complex Analysis with Applications Dennis G. Zill Loyola

Szczególnie korzystam z tej drugiej pozycji

[a4karo]

Krysicki Włodarski to nie podrecznik. Nie znajdziesz tam dowodów tylko fakty przydatne przy rozwiązywaniu zadan

Dokłądnie to samo można powiedzieć o drugiej pozycji: nie ma w niej dowodów, a autor we wstępie pisze: We have kept the
theory in this introductory text to what we hope is a manageable level, concentrating
only on what we feel is necessary. Many concepts are conveyed
in an informal and conceptual style and driven by examples, rather than the
formal definition/theorem/proof..

Jeszcz raz napiszę : zastosuj kryterium d'Alemberta do szeregu potegowego i zobacz co wyjdzie.

[Mondo]

Dziękuję za recenzję moich materiałow. Jaki podręcznik/książkę do analizy zespolonej polecasz w takim razie?

[a4karo]

Najlepiej taki, jaki zasugeruje wykładowca. W dużej mierze zależy to od tego co studiujesz. Na studiach technicznych raczej nikt Cię nie będzie pytał o dowody.

[Mondo]

Studiuję analizę zespoloną w własnym zakresie jako wstęp do analizy furierowskiej - po prostu by zrozumieć matematyke która za tym stoi. Wiec wyznaczylem sobie tematy:
- elementarne funkcje zepsolone (logarytmiczne, wykładnicze, etc)
- funkcje analityczne, granice, ciaglosc, funkcji zespolonych
- Całkowanie i różniczkowanie w płaszczyźnie zespolonej (Cauchy&Rieman teorie)
- Szeregi zespolone, Taylor & Laurent, Residua

Po opanowaniu tego matieriału chciabym wejść w Analizę Furierowską. Czy coś w tym planie przygotowawczym z analizy zepsolonej pominołem?

[a4karo]

Info o szeregach potegowych znajdziesz np. w Fichtenholz. Ja się uczyłem analizy Zwolińska z Leji ale to było do lat temu

[Mondo]

@a4karo,

Promień znieżności równy \(\displaystyle{ 1/g}\) wynika z tego iż wedle kryterium d'Alemberta zbieżność istnieje jeśli iloraz wyrazu \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) jest mniejszy od 1. Stad wartosc MAX dla R wynosi \(\displaystyle{ R = 1/g}\). Dobrze rozumuję?

[a4karo]

D'Alembert zastosowany do szeregu potegowego daje warunek
\(\displaystyle{ \lim x\frac{a_{n+1}}{a_n}<1}\)
Stąd warunek że \(\displaystyle{ x<1/\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}}\)

[Dasio11]

Klik - wprawdzie nie jest to ścisły dowód, a tylko luźne omówienie, ale może Cię zainteresuje.