Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
i stwierdzamy, że promień zbieżności tego szeregu wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}.}\)
Oparłeś się tutaj na kryterium Cauchiego. Pytanie jest dlaczego wykorzystujesz unkcję \(\displaystyle{ \limsup_}\). Oraz czy promień zbieżności równy \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\) wyznacza maksymalną wartość jaką może przyjąć \(\displaystyle{ R}\) ażeby szereg wciąż był zbieżny?
Poprawka: nie oparłem się na kryterium Cauchy'ego, tylko sformułowałem twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda. W dalszej części posta luźno omówiłem dowód, ale tam też kryterium Cauchy'ego nie było wykorzystane.
Dalej: granica \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\) może istnieć lub nie, ale granica górna \(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\) istnieje zawsze - nawet jeśli ciąg jest nieograniczony z góry, to można przyjąć, że granica górna wynosi \(\displaystyle{ +\infty}\), promień zaś definiuje się wówczas jako \(\displaystyle{ 0}\). Dlatego twierdzenie w tej wersji zawsze daje wzór na promień, gdyby zaś sformułowane było przy użyciu samej granicy, to w przypadku gdy granica nie istnieje, twierdzenie by nie działało.
Promień zbieżności \(\displaystyle{ R = \frac{1}{\lambda}}\) to jedyna liczba o takiej własności, że:
\(\displaystyle{ \bullet}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in (-R, R)}\) szereg jest zbieżny;
\(\displaystyle{ \bullet}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus [-R, R]}\) szereg jest rozbieżny.
Wyliczenie promienia rozstrzyga więc zbieżność dla wszystkich liczb \(\displaystyle{ x}\) za wyjątkiem dwóch, które zwą się krańcami przedziału zbieżności, czyli \(\displaystyle{ -R}\) i \(\displaystyle{ R}\).
