potęga liczby zespolonej

[msissek]

Dla podanej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=1+\frac{ \sqrt{3}}{2}- \frac{i}{2}}\) podać najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią n taką, że \(\displaystyle{ z^{n}}\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Jak się za to zabrać? Myślałam o wzorze de Moivre'a, ale nie umiem wynaczyć agrumentu dla tej liczby.

[Premislav]

Mamy
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3}}{2}- \frac{i}{2}=\cos\left( -\frac\pi 6\right)+i\sin\left( -\frac \pi 6\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ 1=\cos 0+i\sin 0}\), więc ze wzorów na sumę sinusów i sumę cosinusów otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1+\frac{ \sqrt{3}}{2}- \frac{i}{2}=\\=2\cos\left( -\frac{\pi}{12}\right)\cos\left( \frac{\pi}{12}\right) +i\cdot 2\sin \left( -\frac{\pi}{12}\right) \cos\left( \frac {\pi}{12}\right)=\\=2\cos\left( \frac{\pi}{12}\right) \cdot \left( \cos\left( -\frac{\pi}{12}\right) +i\sin\left( -\frac{\pi}{12}\right)\right)}\)
Stąd i ze wzoru de Moivre'a już nietrudno wywnioskować, że odpowiedzią w zadaniu jest \(\displaystyle{ n=24}\). Musimy bowiem mieć
\(\displaystyle{ \sin\left( -\frac{\pi n}{12}\right) =0}\), co zachodzi dla \(\displaystyle{ n=12k, \ k \in \ZZ}\),
przy czym najmniejszym \(\displaystyle{ n}\) całkowitym dodatnim, które spełnia ten warunek, jest \(\displaystyle{ n=12}\). Musi też być
\(\displaystyle{ \cos\left( -\frac{n\pi}{12}\right) >0}\), a dla \(\displaystyle{ n=12k, \ k\in \ZZ}\) jest
\(\displaystyle{ \cos\left( -\frac{n\pi}{12}\right) =\cos(-k\pi)=(-1)^k}\).