Strona 1 z 1

Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

: 15 sty 2018, o 19:48
autor: marta_53
Zapisać funkcję \(\displaystyle{ f(z)=\frac{\sin z}{( z-i)^{2}}}\) w postaci szeregu Laurenta w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ z=i}\) .

Re: Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

: 15 sty 2018, o 20:18
autor: Premislav
Wystarczy skorzystać ze wzoru na sinus sumy (w zespolonych działa równie dobrze) i z rozwinięcia funkcji sinus oraz cosinus w szereg Taylora.
\(\displaystyle{ \sin z=\sin(z-i+i)=\sin (z-i)\cos i+\cos(z-i)\sin i}\)
mamy ponadto:
\(\displaystyle{ \sin (z-i)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n (z-i)^{2n+1}}{(2n+1)!}}\) .
oraz:
\(\displaystyle{ \cos (z-i)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n(z-i)^{2n}}{(2n)!}}\) .

Re: Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

: 16 sty 2018, o 20:35
autor: marta_53
Czyli ostatecznie otrzymam \(\displaystyle{ f(z)= \frac{\cos i \cdot (\text{pierwsza powyższa suma}) + \sin i \cdot (\text{druga suma})}{(z-i)^2}}\)

Re: Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

: 17 sty 2018, o 19:54
autor: Premislav
Zgadza się. Można to jeszcze troszkę uprościć.

Re: Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

: 21 sty 2018, o 19:25
autor: marta_53
Dziękuję