Warunki Cauchy'ego Riemanna dla funkcji logarytmicznej.

[kati96xd]

Witam.
Mam za zadanie sprawdzić warunki Cauchy'ego-Riemanna dla funkcji logarytmicznej \(\displaystyle{ f(z)=\ln z}\) .

Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ f(z)=\ln z=\ln(\sqrt{x^2+y^2}) + i \cdot arg(z)}\)
I tu zaczynam się gubić, to teraz wydaje mi się, że częścią rzeczywistą, czyli naszą funkcją \(\displaystyle{ u}\) jest po prostu logarytm, a częścią urojoną \(\displaystyle{ \arg z}\)? Ale przecież to stała, więc pochodna będzie \(\displaystyle{ 0}\) , bez względu czy jest po \(\displaystyle{ x}\) czy po \(\displaystyle{ y}\) ? A po funkcji \(\displaystyle{ u}\) stałą nie będzie, a przecież logarytm jest funkcją różniczkowalną.

Chyba coś namotałam, bardzo proszę o pomoc.
Pozdrawiam.

[Janusz Tracz]

Argument liczby nie jest funkcją stałą zobacz

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Argument_liczby_zespolonej

.

Jeśli

\(\displaystyle{ \arg z=\arctg\left( \frac{y}{x} \right)}\)

to

\(\displaystyle{ f(z)=\ln \sqrt{x^2+y^2}+i\arctg\left( \frac{y}{x} \right)}\)

[janusz47]

Niech \(\displaystyle{ z = re^{i\theta}, \ r>0, \ -\pi< \theta< \pi}\) .

\(\displaystyle{ \ln(z) = \ln(r) + i \theta}\)

\(\displaystyle{ u(r, \theta) = \ln(r), \ v(r, \theta) = \theta}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial r}= \frac{1}{r} = \frac{1}{r}\cdot 1= \frac{1}{r}\left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial v}{\partial r} = 0 = -\frac{1}{r}\cdot 0 = -\frac{1}{r}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)}\)