całki funkcji zespolonych o wartościach rzecziwistych
: 1 lis 2017, o 20:43
Witam, proszę o pomoc w sprawdzeniu i rozwiązaniu kilku przykładów całek funkcji zespolonych:
1. \(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 }dz}\) gdzie L jest kierowanym dodatnio łukiem okręgu \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) gdzie \(\displaystyle{ rez, imz \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 }dz = ...}\)
\(\displaystyle{ z(t)= e^{it} z'(t)=i*e^{it}}\)
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 }dz = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{e^{-it}}{\left| cost+isint\right|^2 }* ie^it =i*\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }1 dz=i \frac{\pi}{2}}\)
2. Tego przykładu nie potrafie zrobić:
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{1}{\overline{z} } dz}\) gdzie L jest odcinkiem od \(\displaystyle{ z_{1}=1}\) do\(\displaystyle{ z _{2}=i}\)
\(\displaystyle{ z(t)=1+(i-1)t, z'(t)=i-1}\)
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{1}{\overline{z} } dz = \int_{0}^{1} \frac{i-1}{1+it-t } dz}\)
Nie wiem co dalej, jak pomnożę mianownik przez sprzężenie to nic mi to chyba nie daje.
3.I ostatni przykład:
[\(\displaystyle{ int_{K}^{} cosz } dz}\) gdzie K jest kierowanym dodatnio łukiem okręgu \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) od \(\displaystyle{ z_{0}=-i}\) do\(\displaystyle{ z _{1}=i}\)
Tutaj \(\displaystyle{ z(t)=e^{it} , z'(t)=ie^{it}}\) ale jak podstawie to wyjdzie cosinus z liczby e i nie wiem co miałbym z tym dalej zrobić więc proszę o jakieś wskazówki.
1. \(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 }dz}\) gdzie L jest kierowanym dodatnio łukiem okręgu \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) gdzie \(\displaystyle{ rez, imz \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 }dz = ...}\)
\(\displaystyle{ z(t)= e^{it} z'(t)=i*e^{it}}\)
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 }dz = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{e^{-it}}{\left| cost+isint\right|^2 }* ie^it =i*\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }1 dz=i \frac{\pi}{2}}\)
2. Tego przykładu nie potrafie zrobić:
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{1}{\overline{z} } dz}\) gdzie L jest odcinkiem od \(\displaystyle{ z_{1}=1}\) do\(\displaystyle{ z _{2}=i}\)
\(\displaystyle{ z(t)=1+(i-1)t, z'(t)=i-1}\)
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{1}{\overline{z} } dz = \int_{0}^{1} \frac{i-1}{1+it-t } dz}\)
Nie wiem co dalej, jak pomnożę mianownik przez sprzężenie to nic mi to chyba nie daje.
3.I ostatni przykład:
[\(\displaystyle{ int_{K}^{} cosz } dz}\) gdzie K jest kierowanym dodatnio łukiem okręgu \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) od \(\displaystyle{ z_{0}=-i}\) do\(\displaystyle{ z _{1}=i}\)
Tutaj \(\displaystyle{ z(t)=e^{it} , z'(t)=ie^{it}}\) ale jak podstawie to wyjdzie cosinus z liczby e i nie wiem co miałbym z tym dalej zrobić więc proszę o jakieś wskazówki.