Matematyka.pl

Mam takie zadanie:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(z+1)^n}{2^n}}\)

w którym należy znaleźć promień zbieżności i zbadać zbieżność na brzegu koła.


O ile ze znalezieniem promienia nie mam problemu i jest to \(\displaystyle{ R=2}\)(szereg jest zbieżny wewnątrz koła o promieniu \(\displaystyle{ 2}\) i środku \(\displaystyle{ -1}\)), to za zbadanie zbieżności na brzegu koła kompletnie nie wiem jak się zabrać. Chciałbym zapytać, jak postępuje się z tego typu zadaniami?

Czy podstawienie \(\displaystyle{ w=z+1}\), które da w efekcie zbieżność(dla \(\displaystyle{ w}\)) wewnątrz koła o promieniu \(\displaystyle{ 2}\) i środku \(\displaystyle{ 0}\), będzie dobrym pomysłem?
Wówczas łatwo byłoby zebrać ,,do kupy" wszystkie liczby o module równym \(\displaystyle{ 2}\) w postaci trygonometrycznej, co sprowadziłoby się do sprawdzenia, dla jakich \(\displaystyle{ \alpha}\) zbieżny jest szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \cos(\alpha n) + i\sin(\alpha n)}\)
Ma to sens? Czy ten szereg w ogóle jest zbieżny dla jakiegoś \(\displaystyle{ \alpha}\)?

Tak, podstawienie \(\displaystyle{ w=z+1}\) to jest dobry pomysł.
Szereg
\(\displaystyle{ sum_{n=0}^infty left(cos(alpha n) + isin(alpha n)
ight)}\)
jest rozbieżny dla każdego \(\displaystyle{ alpha in RR}\), gdyż
\(\displaystyle{ |cos(alpha n) + isin(alpha n)|=1}\), więc warunek konieczny zbieżności nie jest spełniony. A jak ktoś by kręcił nosem na takie uzasadnienie, to zawsze można odgrzebać zwarte wzory na
\(\displaystyle{ sum_{n=0}^N cos(alpha n), sum_{n=0}^Nsin(alpha n)}\), tutaj pokazałem, jak je wyprowadzić:
422175.htm-- 17 paź 2017, o 17:35 --PS sorry, jednak nie te, ale idea jest podobna, rozważasz sumę częściową ciągu geometrycznego
\(\displaystyle{ 1+e^{ia}+e^{2ia}+ldots+e^{Nia}}\), liczysz część rzeczywistą i urojoną.