Matematyka.pl

Witam z rana,

potrzebuję wskazówki jak poradzić sobie z rozwinięciem funkcji:

\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{ \sqrt{1+z} }}\)

w szereg Taylora o środku w punkcie z=0, dla \(\displaystyle{ \left|z \right|<1}\).

Mogę korzystać tylko z rozwinięć "elementarnych" typu ln(1+z), sinz, cosz, albo \(\displaystyle{ e ^{z}}\).

Będę wdzięczna za każdą pomoc!

\(\displaystyle{ f(z) = (1+z)^{-\frac{1}{2}}}\)
Oczywiście zakładam, że chodzi o pierwiastek pierwotny, więc:

\(\displaystyle{ f^{(n)}(z) = (\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n) (1+z)^{-\frac{1}{2}-n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ f^{(n)}}\) to n-ta pochodna f

I do wzoru Taylora

zastanawiałam się czy da się to jakoś zrobić bez różniczkowania po n, ale chyba nie, dzięki wielkie

po zsumowaniu i uporządkowaniu wyszedł mi taki szereg:

\(\displaystyle{ f(z)=1+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ (-1) ^{n} (2n-1)!!}{(2n)!!} z ^{n}}\)

Wynik jest dobry, więc nie ma o co się martwić, jeszcze ewentualnie tę jedynkę tam wrzucić w serię (dla n=0 i skorzystaniu z Gammy [bez zmiany silni tak na prawdę] mamy 1 na samym początku

Albo z funkcji tworzących, mamy

\(\displaystyle{ (1+x)^n = \sum_{k=0}^\infty {n \choose k} x^k}\)

@Cytryn

to działa również dla ujemnych n-ów?

To działa dla rzeczywistych \(\displaystyle{ n}\). Wyjaśnienie powinno być gdzieś w internecie albo Matematyce konkretnej Grahama, Knutha, Patashnika (zakładam jak autor tematu, że \(\displaystyle{ |x| < 1}\)).