Szereg Laurenta a residua

[Matematyca]

Witam, mam problem z rozwiązywaniem pewnego typu zadań. Otóż mam np. taką funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{z(z-3)}}\) i chcę tę funkcję rozwinąć w szereg Laurenta w pierścieniu \(\displaystyle{ \left| z-3\right|>3}\). Otrzymuję szereg
\(\displaystyle{ f(z)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n3^n}{(z-3)^{n+2}}.}\)
Owy szereg nie ma wyrazu \(\displaystyle{ a_{-1}}\), więc oznaczałoby to, że \(\displaystyle{ z=3}\) jest punktem pozornie osobliwym tej funkcji i \(\displaystyle{ res\left[ f,3\right]=0}\).
Ale...
Licząc granicę \(\displaystyle{ \lim_{ z\to 3} f(z)= \infty}\) otrzymuję biegun rzędu 1. Czyli szereg powinien się zaczynać od wyrazu \(\displaystyle{ a_{-1}}\)? I korzystając ze wzoru na residuum w tym przypadku otrzymuję konkretną liczbę \(\displaystyle{ res\left[ f,3\right]= \frac{1}{3}}\).

Gdzie robię błąd?-- 31 sie 2017, o 13:23 --Nie aktualne