Strona 1 z 1
zbieżność szeregu
: 25 cze 2017, o 12:50
autor: Karolina93
Hej, proszę o wskazówkę jak zbadać zbieżność takich szeregów.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos in}{2^{n}}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n-i}{n}\right)^{n}}\)
Re: zbieżność szeregu
: 25 cze 2017, o 12:59
autor: a4karo
Warunek konieczny
Re: zbieżność szeregu
: 25 cze 2017, o 13:47
autor: Karolina93
Ok ale dalej nie wiem jak to rozwiązać. Co zrobić z tą jednostką urojoną w argumencie cosinusa ?
Re: zbieżność szeregu
: 25 cze 2017, o 14:02
autor: NogaWeza
Jakie znasz definicje cosinusa?
Re: zbieżność szeregu
: 25 cze 2017, o 14:13
autor: Karolina93
Ok poradziłam sobie z pierwszym przykładem. A jak rozwiązać drugi ?
Re: zbieżność szeregu
: 25 cze 2017, o 14:16
autor: Premislav
a4karo już podpowiedział: sprawdź warunek konieczny zbieżności.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{z}{n} \right)^n=e^z}\) również dla \(\displaystyle{ z \in \CC}\)
Re: zbieżność szeregu
: 25 cze 2017, o 14:23
autor: Karolina93
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n-i}{n}\right)^{n}=\lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{-i}{n} \right)^{n}=e^{-i}}\)
I jaki wniosek z tego płynie ?
Re: zbieżność szeregu
: 25 cze 2017, o 14:27
autor: Premislav
\(\displaystyle{ e^{-i}\neq 0}\), więc warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony (wyrazy powinny dążyć do zera).
Re: zbieżność szeregu
: 25 cze 2017, o 14:32
autor: Karolina93
Dzięki .Jeszcze mam pytanie odnośnie takiej granicy, którą wykorzystuje do liczenia promienia zbieżności szeregu
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| n+i^{n}\right| }=1}\)
Jak to uzasadnić ?
Re: zbieżność szeregu
: 25 cze 2017, o 14:34
autor: Premislav
\(\displaystyle{ n-1\le |n+i^n|\le n+1}\)
i można z twierdzenia o trzech ciągach.
Taką granicę: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} =1}\) pewnie znasz...
Re: zbieżność szeregu
: 25 cze 2017, o 14:36
autor: Karolina93
ok dzięki