zbieżność szeregu

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

zbieżność szeregu

Post autor: Karolina93 » 25 cze 2017, o 12:50

Hej, proszę o wskazówkę jak zbadać zbieżność takich szeregów.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos in}{2^{n}}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n-i}{n}\right)^{n}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17708
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2987 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: a4karo » 25 cze 2017, o 12:59

Warunek konieczny

Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Karolina93 » 25 cze 2017, o 13:47

Ok ale dalej nie wiem jak to rozwiązać. Co zrobić z tą jednostką urojoną w argumencie cosinusa ?

NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1477
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: NogaWeza » 25 cze 2017, o 14:02

Jakie znasz definicje cosinusa?

Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Karolina93 » 25 cze 2017, o 14:13

Ok poradziłam sobie z pierwszym przykładem. A jak rozwiązać drugi ?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14637
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 98 razy
Pomógł: 4815 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Premislav » 25 cze 2017, o 14:16

a4karo już podpowiedział: sprawdź warunek konieczny zbieżności.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{z}{n} \right)^n=e^z}\) również dla \(\displaystyle{ z \in \CC}\)

Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Karolina93 » 25 cze 2017, o 14:23

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n-i}{n}\right)^{n}=\lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{-i}{n} \right)^{n}=e^{-i}}\)
I jaki wniosek z tego płynie ?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14637
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 98 razy
Pomógł: 4815 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Premislav » 25 cze 2017, o 14:27

\(\displaystyle{ e^{-i}\neq 0}\), więc warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony (wyrazy powinny dążyć do zera).

Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Karolina93 » 25 cze 2017, o 14:32

Dzięki .Jeszcze mam pytanie odnośnie takiej granicy, którą wykorzystuje do liczenia promienia zbieżności szeregu
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| n+i^{n}\right| }=1}\)
Jak to uzasadnić ?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14637
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 98 razy
Pomógł: 4815 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Premislav » 25 cze 2017, o 14:34

\(\displaystyle{ n-1\le |n+i^n|\le n+1}\)
i można z twierdzenia o trzech ciągach.
Taką granicę: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} =1}\) pewnie znasz...

Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Karolina93 » 25 cze 2017, o 14:36

ok dzięki

ODPOWIEDZ