całka zespolona

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

całka zespolona

Post autor: Karolina93 » 13 maja 2017, o 11:08

Hej Mam problem z obliczeniem takiej całki.
\(\displaystyle{ \int_{o}^{2\pi} e^{inx}dx}\)
Obliczam następująco
\(\displaystyle{ \left \int_{0}^{2\pi} e^{inx}dx= \left( \frac{1}{in}e^{inx}\right) \right|_0^{2\pi}}\)

Ale zdaje mi się, że ten sposób nie prowadzi do rozwiązania. Proszę o pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1477
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Re: całka zespolona

Post autor: NogaWeza » 13 maja 2017, o 11:13

Według mnie jest poprawnie. Eksponenta jest "porządną" funkcją, więc można jej całkę krzywoliniową obliczać jako \(\displaystyle{ F(b) - F(a)}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją pierwotną.
Dlaczego wydaje Ci się, że to nie jest poprawnie?

Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: całka zespolona

Post autor: Karolina93 » 13 maja 2017, o 11:19

Chodzi mi o to jak dojść do wyniku tej całki w zależności od \(\displaystyle{ n}\), nie dopowiedziałam tego.
Tzn. dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} \setminus \left\{ 0\right\}}\) całka wynosi \(\displaystyle{ 0.}\)
Natomiast dla \(\displaystyle{ n=0}\) całka równa się \(\displaystyle{ 2\pi}\)

NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1477
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Re: całka zespolona

Post autor: NogaWeza » 13 maja 2017, o 11:25

Na moje oko właśnie doszłaś do tej zależności.

Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: całka zespolona

Post autor: Karolina93 » 13 maja 2017, o 11:32

Nie wiem skąd właśnie wynika, że ta całka wynosi \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ }\)n całkowitych bez zera.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2780
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 904 razy

Re: całka zespolona

Post autor: Janusz Tracz » 13 maja 2017, o 11:35

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} e^{inx} \mbox{d}x = \begin{cases} 0 \ \ \ \ \text{dla} \ \ n \neq 0 \\ 2 \pi \ \ \text{dla} \ \ n=0 \end{cases}}\)

Jeśli funkcja ma pierwotną to zachodzi wzór Newtona tak jak w rzeczywistych.

\(\displaystyle{ \left \int_{0}^{2\pi} e^{inx}\mbox{d}x =\left( \frac{1}{in}e^{inx}\right) \right|_0^{2\pi}= \frac{e^{2 \pi ni}}{in}- \frac{1}{in}=0}\)

bo \(\displaystyle{ e^{2\pi n i }=1}\)

Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: całka zespolona

Post autor: Karolina93 » 13 maja 2017, o 11:36

ok dzięki

ODPOWIEDZ