Ciąg ograniczony
-
Minusik
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 27 lis 2016, o 11:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Minusownia
- Podziękował: 2 razy
Ciąg ograniczony
Czy dowód tw. mówiącego o tym, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony w zbiorze liczb zespolonych różni się jakkolwiek od dowodu owej własności w liczbach rzeczywistych? Jeśli zachodzą różnice, to jak podejść do próby udowodnienia?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Ciąg ograniczony
Ciąg zespolony \(\displaystyle{ (z_n)}\) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi
\(\displaystyle{ \Re z_n, \Im z_n}\) (oba naraz) są zbieżne. A dla części rzeczywistej i urojonej możemy skorzystać z wersji tego twierdzenia dla liczb rzeczywistych.
No a \(\displaystyle{ |z_n| \le |\Re z_n|+|\Im z_n|}\).
Co do tego, czy dowód czymkolwiek się różni, to by na to odpowiedzieć, najpierw musielibyśmy wiedzieć, jaki dowód masz na myśli (tę samą rzecz można udowadniać różnymi sposobami).-- 5 kwi 2017, o 01:09 --W każdym razie da się napisać dowód, który działa równie dobrze dla \(\displaystyle{ \RR}\), jak i dla \(\displaystyle{ \CC}\) (no, niby to oczywiste, bo \(\displaystyle{ \RR \subset \CC}\), ale chodzi mi o taki dowód, w którym nie korzystamy z gimnastyki z częściami rzeczywistymi, urojonymi, sprzężeniami itd.):
powiedzmy, że istnieje \(\displaystyle{ z= \lim_{n \to \infty }z_n}\). Równoważnie
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }|z_n-z|=0}\). Z definicji granicy wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ n_0 \in \NN}\), iż np. \(\displaystyle{ |z_n-z|\le 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\) większego od \(\displaystyle{ n_0}\).
Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ |z_n-z| \le \max\left( \left| z_0-z\right|, |z_1-z|, \dots |z_{n_0}-z|, 1 \right)}\)
i z nierówności trójkąta wynika, że
\(\displaystyle{ |z_n| \le \max(|z_0-z|+|z|, |z_1-z|+|z|, \dots |z_{n_0}-z|+|z|,1+|z|)}\)
dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\).
\(\displaystyle{ \Re z_n, \Im z_n}\) (oba naraz) są zbieżne. A dla części rzeczywistej i urojonej możemy skorzystać z wersji tego twierdzenia dla liczb rzeczywistych.
No a \(\displaystyle{ |z_n| \le |\Re z_n|+|\Im z_n|}\).
Co do tego, czy dowód czymkolwiek się różni, to by na to odpowiedzieć, najpierw musielibyśmy wiedzieć, jaki dowód masz na myśli (tę samą rzecz można udowadniać różnymi sposobami).-- 5 kwi 2017, o 01:09 --W każdym razie da się napisać dowód, który działa równie dobrze dla \(\displaystyle{ \RR}\), jak i dla \(\displaystyle{ \CC}\) (no, niby to oczywiste, bo \(\displaystyle{ \RR \subset \CC}\), ale chodzi mi o taki dowód, w którym nie korzystamy z gimnastyki z częściami rzeczywistymi, urojonymi, sprzężeniami itd.):
powiedzmy, że istnieje \(\displaystyle{ z= \lim_{n \to \infty }z_n}\). Równoważnie
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }|z_n-z|=0}\). Z definicji granicy wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ n_0 \in \NN}\), iż np. \(\displaystyle{ |z_n-z|\le 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\) większego od \(\displaystyle{ n_0}\).
Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ |z_n-z| \le \max\left( \left| z_0-z\right|, |z_1-z|, \dots |z_{n_0}-z|, 1 \right)}\)
i z nierówności trójkąta wynika, że
\(\displaystyle{ |z_n| \le \max(|z_0-z|+|z|, |z_1-z|+|z|, \dots |z_{n_0}-z|+|z|,1+|z|)}\)
dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\).