Klasa funkcji Caratheodory'ego.

[mz93]

Mam do rozwiązania następujące zadanie:
Niech \(\displaystyle{ P'}\) będzie zbiorem funkcji \(\displaystyle{ f}\) postaci \(\displaystyle{ f(z)= z+ \sum_{n=2}^{ \infty } a _{n} z^{n}}\) dla których \(\displaystyle{ \Re f'(z)>0}\) , czyli \(\displaystyle{ f'(z) \in P}\).
Wykaż, że wtedy \(\displaystyle{ | a_{n}| \le \frac{2}{n}}\). Czy ta nierówność jest dokładna? Jeśli tak, to jaką postać ma funkcja ekstremalna?


\(\displaystyle{ P}\) jest to klasa, której elementami są funkcje \(\displaystyle{ p(z)}\) postaci \(\displaystyle{ p(z)= 1+ \sum_{n=1}^{n} c_{n} z^{n} \Leftrightarrow p(0)=1}\) oraz \(\displaystyle{ \Re p(z)>0, z \in D, D= \left\{z \in \CC:|z|<1 \right\}.}\)
Sprawdzamy czy \(\displaystyle{ f'(z) \in P}\). W tym celu obliczamy pochodną z \(\displaystyle{ f(z)}\). Mamy
\(\displaystyle{ f'(z)=1+ \sum_{n=2}^{ \infty }n a_{n} z^{n-1}}\). Rzeczywiście \(\displaystyle{ f'(0)=1}\) oraz z założenia \(\displaystyle{ \Re f'(z)>0}\), czyli \(\displaystyle{ f'(z) \in P}\).


Nie wiem jak pokazać, że \(\displaystyle{ | a_{n}| \le \frac{2}{n}}\). Na wykładzie miałam twierdzenie, które mówiło, że jeśli \(\displaystyle{ p \in P}\) oraz \(\displaystyle{ p(z)= 1+ \sum_{n=1}^{n} c_{n} z^{n}}\), to \(\displaystyle{ | c_{n}| \le 2, n=1,2,...}\). Czy i w jaki sposób można je wykorzystać w tym zadaniu? Nie mam pomysłu...


Co tzn., że nierówność jest dokładna i jak znaleźć funkcję ekstremalną? Na wykładzie było podane tylko, że funkcja ekstremalna jest to funkcja realizująca równość dla pewnych nierówności \(\displaystyle{ | a_{n}| \le n}\).

[Dasio11]

Pierwsza część jest bardzo bezpośrednia: jeśli

\(\displaystyle{ f(z) = z + \sum_{n=2}^{\infty} a_n z^n,}\)

to

\(\displaystyle{ f'(z) = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} n a_n \cdot z^{n-1},}\)

więc jeśli \(\displaystyle{ f' \in P,}\) to z twierdzenia z wykładu \(\displaystyle{ |n a_n| \le 2,}\) czyli \(\displaystyle{ |a_n| \le \frac{2}{n}.}\)

Dalej niestety nie mogę pomóc, bo nie wiem, co to znaczy, że nierówności są dokładne. Mogę tylko wyrazić przypuszczenie, że jeśli na wykładzie była podana funkcja ekstremalna \(\displaystyle{ e(z)}\) dla przytoczonego twierdzenia, to jej funkcja pierwotna - \(\displaystyle{ E(z)}\) t. że \(\displaystyle{ E'(z) = e(z)}\) - będzie ekstremalna dla tych nierówności.

[mz93]

Dziękuję

Jeśli chodzi o nierówność dokładna to jej angielskim odpowiednikiem jest sharp inequality. Oznacza to, że nierównosc jest dokładna wtedy, gdy nie ma lepszej nierówności porównującej dwie ilości.
Znalazłam i przetłumaczyłam (w miarę swoich możliwości) przykład:

Niech \(\displaystyle{ a,b \in R}\). Rozpatrzmy nierówność \(\displaystyle{ 0 \le (a-b)^{2}}\). Przekształcamy:

\(\displaystyle{ 0 \le a^{2}-2ab+ b^{2}}\)
\(\displaystyle{ ab \le \frac{ a^{2}+ b^{2} }{2}}\)

Ta nierówność jest dokładna, ponieważ nie możemy zmniejszyć lewej ani zwiększyć prawej strony o(przez) czynnik dodatni, tak by nierówność była prawdziwa nadal dla wszystkich \(\displaystyle{ a,b \in R}\).

Przypuśćmy, że zwiększamy prawą stronę przez pozbawienie jej \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)(pomnożenie jej przez 2). Wtedy
\(\displaystyle{ ab \le a^{2}+ b^{2}}\)

Nierówność ta nie jest dokładna ponieważ możemy "dodac" czynnik \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)(pomnożyć przez 2) i nierównosc będzie spełniona.


Wiem, że nie jest to przetłumaczone po polsku, ale mam nadzieje, że daje jako taki pogląd o co chodzi z tą nierównością dokładną.
Ktoś ma pomysł jak z tego skorzystac w tym zadaniu?

[Dasio11]

Zgadłem sobie funkcję

\(\displaystyle{ e(z) = \frac{1+z}{1-z} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} 2 z^n}\)

i chyba działa, tzn. \(\displaystyle{ \Re e(z) > 0}\) dla \(\displaystyle{ |z| < 1.}\) No to teraz:

\(\displaystyle{ E(z) = -2 \log(1-z) - z = z + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n} z^n}\)

spełnia \(\displaystyle{ E'(z) = e(z),}\) więc \(\displaystyle{ \Re E'(z) > 0}\) dla \(\displaystyle{ |z| < 1}\) i wobec tego \(\displaystyle{ E \in P'.}\) To chyba będzie szukana funkcja ekstremalna.

[mz93]

Czyli \(\displaystyle{ E(z)}\) obliczamy jako
\(\displaystyle{ E(z)= \int e(z)dz=\int (1+ \sum_{n=1}^{ \infty } 2 z^{n})dz= z+2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ z^{n+1} }{n+1}= z+2 \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{ z^{n} }{n}=z+ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{2}{n} z^{n}}\).

Mogę to obliczać jako całkę nieoznaczoną? Skąd te założenie, że \(\displaystyle{ e(z)= E^{'}(z)}\)?
Czy można to zrobic jakimś schematem bez zgadywania? No i co z tą dokładną nierównością?

Tak nawiasem mówiąc, dziękuję za poświęcony czas

[Dasio11]

Definicja klasy \(\displaystyle{ P'}\) (zbiór funkcji \(\displaystyle{ f(z) = z + \sum_{n=2}^{\infty} c_n z^n}\) t. że \(\displaystyle{ f' \in P}\)) jest zadana w taki sposób, że funkcje z klasy \(\displaystyle{ P}\) są blisko powiązane z funkcjami z klasy \(\displaystyle{ P'.}\)

Mianowicie, dowolna funkcja \(\displaystyle{ f}\) jeśli spełnia warunki: \(\displaystyle{ f(0) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ f' \in P,}\) to wtedy \(\displaystyle{ f \in P'.}\)
Z drugiej strony zauważmy najpierw, że każda funkcja holomorficzna \(\displaystyle{ f : D \to \CC}\) ma dokładnie jedną funkcję pierwotną \(\displaystyle{ F : D \to \CC}\) (tzn. taką funkcję, że \(\displaystyle{ F'(z) = f(z)}\)) spełniającą warunek \(\displaystyle{ F(0) = 0.}\) I teraz, dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f \in P}\) ta jedyna funkcja pierwotna \(\displaystyle{ F}\) należy do \(\displaystyle{ P'.}\)
Krótko mówiąc, odzworowanie

\(\displaystyle{ \begin{align*} P' \longrightarrow P \\
f \longmapsto f'
\end{align*} }\)

jest bijekcją. Jeśli znane Ci jest pojęcie izomorfizmu, to możesz myśleć, że jest to izomorfizm - choć formalnie takie stwierdzenie jest bez sensu, bo na klasach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P'}\) nie ma żadnej struktury algebraicznej, to oddaje ono intuicję, że to odwzorowanie zadaje pewne podobieństwo tych klas.

Z tej obserwacji korzystał przedstawiony wyżej dowód pierwszego zadania:

Wykaż, że wtedy \(\displaystyle{ | a_{n}| \le \frac{2}{n}}\).

Mianowicie, braliśmy dowolną funkcję \(\displaystyle{ f \in P'}\) i zgodnie z powyższym odwzorowaniem przekształcaliśmy ją w \(\displaystyle{ f' \in P.}\) Dla funkcji w klasie \(\displaystyle{ P}\) zachodzi przytoczone przez Ciebie twierdzenie, że ich współczynniki w rozwinięciu w szereg spełniają nierówności \(\displaystyle{ |a_n| \le 2,}\) a treść tego twierdzenia można "cofnąć", otrzymując analogiczną wersję dla funkcji z klasy \(\displaystyle{ P',}\) co akurat rozwiązuje to zadanie.


Właśnie to podobieństwo klas \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P'}\) miałem na myśli wyrażając wtedy przypuszczenie:

jeśli na wykładzie była podana funkcja ekstremalna \(\displaystyle{ e(z)}\) dla przytoczonego twierdzenia, to jej funkcja pierwotna - \(\displaystyle{ E(z)}\) t. że \(\displaystyle{ E'(z) = e(z)}\) - będzie ekstremalna dla tych nierówności.

Tok mojego rozumowania był taki:

\(\displaystyle{ \bullet}\) Znaleźć funkcję \(\displaystyle{ e(z)}\) ekstremalną dla nierówności \(\displaystyle{ |a_n| \le 2}\) zachodzących w klasie \(\displaystyle{ P.}\) Tę funkcję ostatecznie po prostu zgadłem - skoro szukamy funkcji spełniającej nierówności \(\displaystyle{ |a_n| \le 2,}\) ale będącej w jakiś sposób ekstremalną, to weźmy po prostu \(\displaystyle{ a_n = 2}\) i zobaczmy, czy wyjdzie. Próbujemy:

\(\displaystyle{ e(z) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} 2 z^n = -1 + 2 \sum_{n=0}^{\infty} z^n = -1 + \frac{2}{1-z} = \frac{1+z}{1-z}.}\)

Rzeczywiście, ta funkcja jest w klasie \(\displaystyle{ P,}\) bo dla \(\displaystyle{ |z| < 1}\) mamy \(\displaystyle{ \Re e(z) > 1}\) (trzeba to sprawdzić), a sposób zadania tej funkcji - przez ustalenie \(\displaystyle{ a_n = 2}\) - sprawia, że nierówności \(\displaystyle{ |a_n| \le 2}\) są spełnione w "skrajny", "ekstremalny" sposób.


\(\displaystyle{ \bullet}\) Skorzystać z opisanej odpowiedniości między klasami \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P'.}\) Skoro znaleźliśmy funkcję ekstremalną \(\displaystyle{ e(z)}\) po stronie klasy \(\displaystyle{ P,}\) to może jej odpowiednik po stronie \(\displaystyle{ P'}\) będzie funkcją ekstremalną, której szukamy? Okazuje się, że tak. Przypomnijmy, jak znaleźć ten odpowiednik: trzeba wziąć taką funkcję \(\displaystyle{ E(z),}\) że \(\displaystyle{ E'(z) = e(z)}\) oraz \(\displaystyle{ E(0) = 0.}\) Rutynowe wyliczenie daje

\(\displaystyle{ E(z) = -2\log(1-z) - z.}\)

Dalsze wyliczenia pokazują, że przy rozwinięciu

\(\displaystyle{ E(z) = z + \sum_{n=2}^{\infty} c_n z^n}\)

współczynniki wynoszą \(\displaystyle{ c_n = \frac{2}{n},}\) czyli są ekstremalne dla nierówności \(\displaystyle{ |c_n| \le \frac{2}{n}.}\)


Taka jest idea tego rozwiązania.

Czyli \(\displaystyle{ E(z)}\) obliczamy jako
\(\displaystyle{ E(z)= \int e(z)dz=\int (1+ \sum_{n=1}^{ \infty } 2 z^{n})dz= z+2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ z^{n+1} }{n+1}= z+2 \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{ z^{n} }{n}=z+ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{2}{n} z^{n}}\).

Tak, to jest w porządku, tylko należy pilnować, żeby szukać nie dowolnej funkcji pierwotnej \(\displaystyle{ E(z),}\) lecz takiej, że \(\displaystyle{ E(0) = 0}\) - ostatecznie chcemy przecież dostać funkcję z klasy \(\displaystyle{ P'.}\)

Czy można to zrobic jakimś schematem bez zgadywania?

Schematem wątpię, ale może jest sensowny sposób, żeby to wymyślić. Może na przykład da się to wywnioskować z dowodu twierdzenia, żeby zobaczyć, w którym miejscu nierówności przechodzą w równości.

[mz93]

Dziękuję

(tam w pierwszej kropce jest chyba błąd i ma byc \(\displaystyle{ \Re e(z)>0}\) zamiast \(\displaystyle{ \Re e(z)>1}\))

Chociaż w sumie jest ok, bo jeśli jest większe niż 1 to jest większe niż 0

[Dasio11]

Nie nie, masz rację. Obrazem zbioru \(\displaystyle{ D}\) przez \(\displaystyle{ w = e(z)}\) jest cała półpłaszczyzna \(\displaystyle{ \Re w > 0,}\) więc aż tak, dobrze, jak napisałem, to nie jest.