Czy ktokolwiek wie, jak ugryźć ten problem? Chcę pokazać, że macierz \(\displaystyle{ n \times n}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb C}\) zeruje wielomian \(\displaystyle{ f(z) = \det (z - A)}\). Wskazówka do zadania: użyć wzoru całkowego Cauchy'ego,
\(\displaystyle{ n(\gamma, a) f(a) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(z)}{z - a} \,\textrm{d}z}\).
Chyba wiem, co powinno być funkcją \(\displaystyle{ f}\), ale jak dobrać krzywą \(\displaystyle{ \gamma}\)?
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
-
Slup
- Użytkownik
- Posty: 794
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Rozumiem, że chcesz dowód przy użyciu wzoru Cauchy'ego. Nie wiem czy on zachodzi w tej formie w jakiej go użyłem tutaj, ale wygląda to dobrze.
Niech \(\displaystyle{ A\in M_{n\times n}(\mathbb{C})}\) będzie macierzą. Wówczas macierz \(\displaystyle{ z-A}\) jest odwracalna dla \(\displaystyle{ |z|> r_0>0}\), gdzie \(\displaystyle{ r_0}\) jest jakąś tam wystarczająco dużą liczbą rzeczywistą. Dalej ze wzoru Cramera na odwrotność macierzy można napisać, że dla \(\displaystyle{ |z|>r_0}\):
\(\displaystyle{ (z-A)^{-1}=[\frac{(-1)^{i+j}\mathrm{det}((z-A)_{ij})}{\mathrm{det}(z-A)}]_{ij}}\)
gdzie \(\displaystyle{ (z-A)_{ij}}\) to macierz powstała przez usunięcie \(\displaystyle{ i}\)-tego wiersza oraz \(\displaystyle{ j}\)-tej kolumny z \(\displaystyle{ z-A}\). Stąd dla \(\displaystyle{ |z|>r_0}\):
\(\displaystyle{ (z-A)^{-1}=[\frac{g_{ij}(z)}{\mathrm{det}(z-A)}]_{ij}}\)
gdzie \(\displaystyle{ g_{ij}(z)\in \mathbb{C}[z]}\) jest jakimś tam wielomianem o współczynnikach zespolonych.
To teraz weźmy \(\displaystyle{ r>r_0}\) i ze wzoru Cauchy'ego(przy czym nie wiem czy on zachodzi w tej formie):
\(\displaystyle{ g(A)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}g(z)(z-A)^{-1}dz}\)
Dla dowolnego wielomianu zespolonego \(\displaystyle{ g(z)\in \mathbb{C}[z]}\). Kładąc we wzorze:
\(\displaystyle{ g(z)=\mathrm{det}(z-A)}\)
dostajemy:
\(\displaystyle{ g(A)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}g(z)(z-A)^{-1}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}[g(z)\frac{g_{ij}(z)}{\mathrm{det}(z-A)}]_{ij}dz=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}[g(z)\frac{g_{ij}(z)}{g(z)}]_{ij}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}[g_{ij}(z)]_{ij}dz=0}\)
przy czym ostatnia równość wynika stąd, że funkcja holomorficzna(a więc też wielomian) definiuje zamkniętą \(\displaystyle{ 1}\)-formę na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), czyli jej całka krzywoliniowa po konturze zamkniętym znika.
Niech \(\displaystyle{ A\in M_{n\times n}(\mathbb{C})}\) będzie macierzą. Wówczas macierz \(\displaystyle{ z-A}\) jest odwracalna dla \(\displaystyle{ |z|> r_0>0}\), gdzie \(\displaystyle{ r_0}\) jest jakąś tam wystarczająco dużą liczbą rzeczywistą. Dalej ze wzoru Cramera na odwrotność macierzy można napisać, że dla \(\displaystyle{ |z|>r_0}\):
\(\displaystyle{ (z-A)^{-1}=[\frac{(-1)^{i+j}\mathrm{det}((z-A)_{ij})}{\mathrm{det}(z-A)}]_{ij}}\)
gdzie \(\displaystyle{ (z-A)_{ij}}\) to macierz powstała przez usunięcie \(\displaystyle{ i}\)-tego wiersza oraz \(\displaystyle{ j}\)-tej kolumny z \(\displaystyle{ z-A}\). Stąd dla \(\displaystyle{ |z|>r_0}\):
\(\displaystyle{ (z-A)^{-1}=[\frac{g_{ij}(z)}{\mathrm{det}(z-A)}]_{ij}}\)
gdzie \(\displaystyle{ g_{ij}(z)\in \mathbb{C}[z]}\) jest jakimś tam wielomianem o współczynnikach zespolonych.
To teraz weźmy \(\displaystyle{ r>r_0}\) i ze wzoru Cauchy'ego(przy czym nie wiem czy on zachodzi w tej formie):
\(\displaystyle{ g(A)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}g(z)(z-A)^{-1}dz}\)
Dla dowolnego wielomianu zespolonego \(\displaystyle{ g(z)\in \mathbb{C}[z]}\). Kładąc we wzorze:
\(\displaystyle{ g(z)=\mathrm{det}(z-A)}\)
dostajemy:
\(\displaystyle{ g(A)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}g(z)(z-A)^{-1}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}[g(z)\frac{g_{ij}(z)}{\mathrm{det}(z-A)}]_{ij}dz=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}[g(z)\frac{g_{ij}(z)}{g(z)}]_{ij}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}[g_{ij}(z)]_{ij}dz=0}\)
przy czym ostatnia równość wynika stąd, że funkcja holomorficzna(a więc też wielomian) definiuje zamkniętą \(\displaystyle{ 1}\)-formę na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), czyli jej całka krzywoliniowa po konturze zamkniętym znika.