Strona 1 z 1

Zbadac zbieznosc szeregu

: 15 cze 2016, o 17:33
autor: nevonsky
Zbadac zbieznosc szeregu

a) \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty} \frac{\sin n}{n^2-i}}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{ n=0 }^{ \infty} \frac{2^n}{(e-i)^n}}\)

prosze o pokazanie jak zrobic z gory bardzo dziekuje

Zbadac zbieznosc szeregu

: 15 cze 2016, o 19:38
autor: Premislav
a) \(\displaystyle{ \frac{\sin n}{n^2 -i}= \frac{\sin n (n^2 +i)}{n^4+1}= \frac{n^2\sin n}{n^4 +1}+i \frac{\sin n}{n^4+1}}\) - pomnożyłem przez sprzężenie mianownika.
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } z_{n}}\) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są szeregi
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \Re z_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\Im z_{n}}\)
Wystarczy więc, że pokażesz zbieżność
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2 \sin n}{n^4+1}}\) oraz zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin n}{n^4+1}}\). Najprościej zbadać zbieżność bezwzględną i oszacować z \(\displaystyle{ |\sin n|<1}\)
b) to jest po prostu szereg geometryczny o ilorazie
\(\displaystyle{ \frac{2}{e-i}}\). Czy \(\displaystyle{ \left| \frac{2}{e-i}\right| <1}\)? Jeśli tak, to szereg jest zbieżny, a jeśli nie, to rozbieżny.