Calka zespolona po brzegu figury

[tomasik56]

Zadanie:
Obliczyć całkę:

\(\displaystyle{ \oint_{ \partial T}\Re zdz}\)

gdzie \(\displaystyle{ \partial T}\) jest brzegiem figury:

\(\displaystyle{ T=\{z \in \CC:0<\Im z<1-\Re z, 0<\Re z<1\}}\)

zorientowanym dodatnio.

Nie wiem czy dobrze wykonalem to zadanie.
Narysowalem sobie tą figurę i sparametryzowalem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=1-t \end{cases}
t \in (0,1)}\)
Skorzystalem ze wzoru:
\(\displaystyle{ \int_{\ell}f(z)dz= \int_{a}^{b}f(z(t)) \cdot z'(t)dt}\)
u mnie \(\displaystyle{ f(z)=\Re z}\)
\(\displaystyle{ z=x+iy \\
z(t)=t+i-it \\
z'(t)=1-i,}\)

a więc:
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(z(t)) \cdot z'(t)dt=\int_{0}^{1}\Re(t+i-it) \cdot (1-i)dt=\int_{a}^{b}t \cdot (1-i)dt= \int_{0}^{1} tdt-i\int_{0}^{1}tdt= \frac{t ^{2}}{2}\Bigg|_{0}^{1}-i\frac{ t^{2} }{2}\Bigg|_{0}^{1}= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.}\)

To jest juz wykonane zadanie?

[octahedron]

Figurą jest trójkąt, więc brakuje jeszcze całek po dwóch pozostałych bokach.