ekstremum lokalne funkcji wielu zmiennych

[grapexs]

Mam policzyć ekstremum lokalne dla takiej funkcji:
\(\displaystyle{ e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2} }\left( x+y+2z\right)}\)
licze pochodne pierw po x, potem po y, potem po z :
\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = -2x e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\left( x+y+2z\right) +e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{df}{dy} = -2y e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\left( x+y+2z\right)+e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{df}{dz} = -2z e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\left( x+y+2z\right)+2e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}\)
następnie układ równań:
\(\displaystyle{ -2x e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\left( x+y+2z\right) +e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}=0}\)
\(\displaystyle{ -2y e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\left( x+y+2z\right)+e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}=0}\)
\(\displaystyle{ -2z e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\left( x+y+2z\right)+2e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}=0}\)
skracam:
\(\displaystyle{ -2x \left( x+y+2z\right) +1=0}\)
\(\displaystyle{ -2y \left( x+y+2z\right)+1=0}\)
\(\displaystyle{ -2z \left( x+y+2z\right)+2=0}\)
i dalej wychodzi, że x=y, i mam dalej kłopot z policzeniem bo wychodzi zły wynik, dodatkowo nie wiem czy dobrze to robię i nie wiem czy da się to skrócić bo potem będę musiał liczyć kolejne pochodne i to będzie masaa pracy ;(
ps. nie wiem czy dobry dział, ale nie wiedziałem gdzie indziej to dać

[kerajs]

Skracasz przez liczbę zawsze dodatnią więc to dobry ruch.

\(\displaystyle{ xyz \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+2z = \frac{1}{2x} \\ \frac{-y}{x}+1=0 \\ \frac{-z}{x}+2=0\end{cases} \\
\begin{cases} x+y+2z = \frac{1}{2x} \\ y=x \\ z=2x\end{cases} \\
x+x+2 \cdot 2x= \frac{1}{2x} \\
12x^2=1\\
x= \frac{ \sqrt{3} }{6} \vee x= \frac{ -\sqrt{3} }{6}\\
\begin{cases} x= \frac{ \sqrt{3} }{6} \\ y= \frac{ \sqrt{3} }{6}\\ x= \frac{ 2\sqrt{3} }{6} \end{cases} \vee \begin{cases} x= \frac{ -\sqrt{3} }{6} \\ y= \frac{ -\sqrt{3} }{6}\\ x= \frac{- 2\sqrt{3} }{6} \end{cases}}\)

[grapexs]

Skracasz przez liczbę zawsze dodatnią więc to dobry ruch.

\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{-y}{x}+1=0 \\ \frac{-z}{x}+2=0\end{cases}}\)

hmm przez co podzieliłeś ,że coś takiego zostało?

[cosinus90]

kerajs po prostu podstawił do drugiego i trzeciego równania zależność \(\displaystyle{ x+y+2z = \frac{1}{2x}}\).

[grapexs]

to jeszcze pytanie zanim zacznę liczyć mozolnie kolejne pochodne, czy da się to jakoś skrócić czy mam liczyć kolejną pochodną po x,y,z z tamtych pochodnych?(co zejdzie pewnie trochę)

[kerajs]

Jedyne ułatwienie to wyciągnięcie wyrażenia wykładniczego przed nawias.


\(\displaystyle{ f ^{'} _{x}= e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \left( -2x^2-2xy-4xz+1\right)}\)
\(\displaystyle{ f ^{'} _{y}= e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \left( -2xy-2y^2-4yz+1\right)}\)
\(\displaystyle{ f ^{'} _{z}= e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \left( -2xz-2yz-4z^2+2\right)}\)

Liczenie drugich pochodnych nie powinno być trudne bo zawsze jeden składnik sumy (zawierający powyższe nawiasy) się zeruje.