Tw o jednoznacznosci

[StJuan]

Pytanie brzmi czy istnieją takie funkcje analityczne, że
a)\(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{n} \right) =f \left( \frac{-1}{n} \right) =\frac{1}{n^2}}\)
b)\(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{n} \right) =f \left( \frac{-1}{n} \right) =\frac{1}{n^3}}\)
c)\(\displaystyle{ f \left( \frac{i}{n} \right) =i}\)
Wszystkie na kole o promieniu 2 i środku w punkcie (0,0).
Wszystkie mają punkty skupienia w kole, więc wystarczy, że znajdę funkcję, która przyjmuję te same wartości dla tych ciągów? (i z tw o jednoznacznosci funkcje sa takie same, więc istnieją funkcje analityczne)
tzn. dla c) \(\displaystyle{ g \left( z \right) =i}\), dla a)\(\displaystyle{ g \left( z \right) =1/z}\) ?

[MadJack]

a) \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) na pewno nie jest równa na zadanym ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\). Musisz zmienić stopień w mianowniku...
b) Załóż, że \(\displaystyle{ f}\) jest analityczna. Rozważ pierwsze ciąg punktów postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Z zadanych wartości jaka musiałaby być \(\displaystyle{ f}\)? Potem sprawdź, czy \(\displaystyle{ f}\) spełnia warunek na punktach postaci \(\displaystyle{ \frac{-1}{n}}\). Jaki stąd wniosek?
c) OK.

[StJuan]

W a) oczywiście chodziło o \(\displaystyle{ \frac {1}{z^2}}\).
W b) Z pierwszego warunku musiała być to funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{z^3}}\) a z drugiego \(\displaystyle{ \frac{-1}{z^3}}\). I to wystarcza?

A czy zmieniło by się coś gdybym miał funkcję taką: \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{n} \right) =\frac{1}{n}}\) dla n nieparzystych oraz \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{n} \right) =0}\) dla n parzystych?

Ten sam argument co przy b) ?

[MadJack]

Tak, taka funkcja analityczna nie może istnieć, bo z jednej strony musiałaby być tożsamościowo równa \(\displaystyle{ 0}\), a z drugiej identyczności.

[Medea 2]

Nie rozumiem do końca rozwiązania punktu b. Zbiór miejsc zerowych funkcji \(\displaystyle{ \sin x}\) oraz \(\displaystyle{ \exp x \sin x}\) jest taki sam, chociaż same funkcje mają kompletnie różne od siebie rozwinięcia jako szeregi potęgowe. Czegoś nie widzę, jakiegoś brakującego elementu układanki? Oświećcie mnie, proszę.

[Dasio11]

Koledzy wykorzystują taki fakt:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ U \subseteq \CC}\) jest obszarem (czyli otwartym zbiorem spójnym) i \(\displaystyle{ u \in U.}\) Niech \(\displaystyle{ u_n}\) będzie ciągiem elementów \(\displaystyle{ U}\) zbieżnym do \(\displaystyle{ u}\) i załóżmy, że funkcje analityczne \(\displaystyle{ f, g : U \to \CC}\) spełniają \(\displaystyle{ f(u_k) = g(u_k)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ k.}\) Wtedy \(\displaystyle{ f = g.}\)

W podpunkcie (b): gdyby \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n^3},}\) to z uwagi na to, że funkcja \(\displaystyle{ g(z) = z^3}\) też spełnia ten warunek, na mocy powyższego faktu \(\displaystyle{ f = g.}\) Gdyby dodatkowo \(\displaystyle{ f \left( -\frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n^3},}\) to analogicznie \(\displaystyle{ f(z) = -z^3,}\) co jest niemożliwe.


P.S. W podpunkcie (a) chodzi o funkcję \(\displaystyle{ f(z) = z^2}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{z^2}.}\)

[MadJack]

Dasio11, oczywiście, tak samo w (b), jak pisałeś, \(\displaystyle{ z^3}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{z^3}}\). Głupio się zasugerowałem tym \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) autora wątku, dzięki