różniczkowalność funkcji zespolonej w punkcie

[gienia]

Sprawdzić, czy dla \(\displaystyle{ f(z)=\sqrt{|\Re z||\Im z|}}\) istnieje \(\displaystyle{ f'(0)}\), \(\displaystyle{ z=x+iy}\).

Czyli mogę pokazać, że albo warunki C-R nie są spełnione w tym punkcie, czyli nie istnieje f'(0), albo, jeśli są spełnione, to że u i v są różniczkowalne w \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\), czyli istnieje \(\displaystyle{ f'(0)}\), tak?

Sprawdziłam, że warunki C-R są spełnione.
Teraz różniczkowalność u i v:
\(\displaystyle{ v=0}\), więc różniczkowalne.
\(\displaystyle{ u=\sqrt{|xy|}}\).

\(\displaystyle{ \lim_{(h_1,h_2) \to 0} \frac{u(h_1,h_2)-u(0,0)-[u_x(0,0),u_y(0,0)][h_1,h_2]}{||[h_1,h_2]||}=\lim_{(h_1,h_2) \to 0} \frac{ \sqrt{|h_1h_2|}}{\sqrt{(h_1)^2+(h_2)^2}}}\)

Nie umiem dalej

[janusz47]

Ta granica jest równa 0, bo przechodząc np. na współrzędne biegunowe otrzymujemy

\(\displaystyle{ \lim_{\alpha \to 0}\sqrt{\frac{1}{2}\sin (2\alpha)} =0.}\)

[gienia]

A jak to się tutaj przechodzi na biegunowe?

[janusz47]

\(\displaystyle{ h_{1}= r\cos(\alpha)}\)
\(\displaystyle{ h_{2}= r\sin(\alpha).}\)

[gienia]

Czyli wychodzi, że u jest różniczkowalne i istnieje \(\displaystyle{ f'(0)}\), tak?

[janusz47]

Sprawdziłaś, że spełnione są warunki Cauchy-Riemanna i z definicji istnieje pochodna w punkcie 0, a więc u jest rózniczkowalne i istnieje pochodna w tym punkcie.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \lim_{\alpha \to 0}\sqrt{\frac{1}{2}\sin (2\alpha)} =0.}\)

Nie powinno być \(\displaystyle{ \lim_{\alpha \to 0},}\) bo \(\displaystyle{ \alpha}\) jest parametrem. A skoro wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{2} \sin 2 \alpha}}\) zależy od tego parametru, to granica nie istnieje.

[gienia]

Możesz bardziej wyjaśnić o co chodzi z tym parametrem i dlaczego ta granica nie istnieje?

A skoro wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{2} \sin 2 \alpha}}\) zależy od tego parametru, to granica nie istnieje.

Zawsze chyba wartość zależy od parametru, to znaczy że nie można w ogóle parametryzować, żeby liczyć granice, czy coś źle rozumiem?

[janusz47]

Sprawdzając istnienie granicy funkcji dwóch zmiennych za pomocą współrzędnych biegunowych, żąda się, aby promień \(\displaystyle{ r \rightarrow 0,}\) natomiast kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) pozostawał dowolny.

Ponieważ granica zależy od kąta \(\displaystyle{ 2\alpha,}\) dlatego jak słusznie zauważył kolega Dasio11 -nie istnieje.

Sprawdzenie istnienia granicy drugą metodą.

Niech ciąg \(\displaystyle{ (h_{1n}, h_{2n}) \rightarrow (0, 0)}\) i \(\displaystyle{ h_{2n} =ah_{1n}, a\in R.}\)

Podstawiając do granicy

\(\displaystyle{ \lim_{(h_{1n},h_{2n}) \rightarrow (0,0)} \frac{\sqrt{h_{1n}h_{2n}}}{\sqrt{h^{2}_{1n}+h^{2}_{2n}}} = \lim_{h_{1n} \rightarrow 0}\frac{\sqrt{ah^{2}_{1n}}}{\sqrt{h^{2}_{1n} + a^{2}h^{2}_{1n}}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{1+a^{2}}}.}\)

Granica ta zależy od liczby \(\displaystyle{ a}\), a więc istnieje nieskończenie wiele takich granic, czyli nie istnieje dokładnie jedna
Przepraszam za wprowadzenie w błąd.

[gienia]

Ok, czyli u nie jest różniczkowalna w (0,0). Bo właśnie nie wiem, czy z tego wynika, że nie istnieje pochodna f'(0)?
Mam takie twierdzenie, że jak C-R są spełnione i u, v są różniczkowalne w tym punkcie, to istnieje pochodna.
A drugie, że jak istnieje pochodna, to C-R spełnione i istnieją pochodne cząstkowe u i v.
Ale nie mam nic o tym, co jak u albo v nie jest różniczkowalna w tym punkcie.

To co mogę tu jeszcze zrobić?

[janusz47]

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ ( 0, 0),}\) bo nie istnieje pochodna funkcji w tym punkcie. Warunki C-R są warunkami koniecznymi istnienia pochodnej ale niedostecznymi.