granica zespolona

[gienia]

Jak policzyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+e^{it}+...+e^{int}}{n}, t \in \mathbb R}\)?

[a4karo]

Uzyj wzoru na sumę wyrazów ciagu geometrycznego

[gienia]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sum_{n=0}^{ \infty }(e^{it})^n }{n}=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n(1-e^{it})}=0}\)

Mogę tak zrobić?

[Kaf]

Nie, nie możesz. Musisz policzyć sumę wyrazów w liczniku, a tych wyrazów jest skończona ilość.

[gienia]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \sum_{k=0}^{ n }(e^{it})^k }{n}=\lim_{n \to \infty } \frac{1-(e^{it})^{n+1}}{1-e^{it}} \frac{1}{n}}\)

I jak teraz tę granicę policzyć?

\(\displaystyle{ |(e^{it})^{n+1}|=1}\) i \(\displaystyle{ |e^{it}|=1}\), coś mi to daje?

[Kaf]

\(\displaystyle{ 1-e^{it}}\) to stała, więc możesz wyciągnąć ją przed granicę.

[gienia]

Czyli będzie \(\displaystyle{ (1-e^{it})\lim_{n \to \infty } \frac{1-(e^{it})^{n+1}}{n}}\)

i teraz nie wiem do końca jak się liczy granice zespolone, mam wziąć to w wartość bezwzględną?
To wtedy by było \(\displaystyle{ (1-e^{it})\lim_{n \to \infty } \frac{|1-(e^{it})^{n+1}|}{|n|}=(1-e^{it})\lim_{n \to \infty } \frac{0}{n}=0}\)

[Kaf]

Nie, nie, nie! Musisz do tego podejść inaczej (zauważ, że gdyby można było tak nakładać moduł, to granica każdego zbieżnego ciągu liczb zespolonych byłaby liczbą rzeczywistą, co raczej nie ma większego sensu; poza tym źle obliczyłaś moduł licznika). Proponuję zrobić to tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1-(e^{it})^{n+1}}{n}=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}-\lim_{n \to \infty } \frac{(e^{it})^{n+1}}{n}=-\lim_{n \to \infty } \frac{(e^{it})^{n+1}}{n}}\)
Teraz użyjemy takiego prostego twierdzenia:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} a_n = a}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \Re a_n = \Re a}\) i \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \Im a_n = \Im a}\)
\(\displaystyle{ \Re \frac{(e^{it})^{n}}{n} = \frac{\cos{t(n+1)}}{n}}\) a \(\displaystyle{ \Im \frac{(e^{it})^{n+1}}{n} = \frac{\sin{t(n+1)}}{n}}\). Teraz wykorzystaj to twierdzenie do obliczenia do końca tej granicy.

[gienia]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \Re a_n =\lim_{n \to \infty } \frac{\cos{t(n+1)}}{n}=0}\) i \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \Im a_n =\lim_{n \to \infty } \frac{\sin{t(n+1)}}{n}=0}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} a_n = 0}\), tak?

[Kaf]

Tak, co w połączeniu z resztą daje, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+e^{it}+...+e^{int}}{n}=0}\).

EDIT:
Mały błąd się wkradł. Jeśli \(\displaystyle{ t=0}\) to \(\displaystyle{ 1-e^{it}=0}\), więc w tym wypadku musimy granicę policzyć osobno (co nie jest żadny problemem, bo to granica ciągu stałego) otrzymując \(\displaystyle{ 1}\).

[gienia]

Dzięki!

[Kaf]

Edytowałem ostatni post, zobacz.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \sum_{k=0}^{ n }(e^{it})^k }{n}=\lim_{n \to \infty } \frac{1-(e^{it})^{n+1}}{1-e^{it}} \frac{1}{n}}\)

Ten wzór ma zastosowanie dla \(\displaystyle{ t\neq 2k\pi}\), ale wtedy granicę liczy się trywialnie.
teraz wystarczy oszacować wyrażenie po prawej stronie:

\(\displaystyle{ \left|\frac{1-(e^{it})^{n+1}}{1-e^{it}} \frac{1}{n}\right|= \frac{1}{n}\cdot \left|\frac{1}{1-e^{it}} \right|\left|1-(e^{it})^{n+1}\right|\leq \frac{1}{n}\cdot \left|\frac{1}{1-e^{it}}\right|\left(1+|e^{it}|^{n+1}\right)= \frac{2}{n}\cdot \left|\frac{1}{1-e^{it}}\right|}\)

[gienia]

Czyli oba rozwiązania będą dobre, tak?

[Kaf]

Tak, o ile do mojego dodasz, że przypadek \(\displaystyle{ t=2k\pi}\) trzeba rozważyć osobno, i że wtedy wyjdzie granica równa 1.