zbieżność szeregów zespolonych.

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: Karolina93 »

Uzasadnić, że podane szeregi są rozbieżne.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } e^{in} \\
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{i^{n}}}\)


Wskazówka: zbadać moduły\(\displaystyle{ |z_{n}|}\)
Nie za bardzo rozumiem wskazówki, w czym mi ona pomoże ?
Proszę bardzo o pomoc
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: yorgin »

Pomoże pokazać, że nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: Karolina93 »

\(\displaystyle{ |z_{n}|= |e^{in}|= | \cos n+i\sin n]= \sqrt{(\cos n)^{2}+(\sin n)^{2}}=1}\)

Czyli \(\displaystyle{ |z_{n}|=1}\). I z tego stwierdzamy, że niemożliwe jest zatem aby \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } z_{n}=0}\) ?

Co z podpunktem b ?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: yorgin »

Karolina93 pisze: Czyli \(\displaystyle{ |z_{n}|=1}\). I z tego stwierdzamy, że niemożliwe jest zatem aby \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } z_{n}=0}\) ?
Tak.
Karolina93 pisze: Co z podpunktem b ?
Tak samo.
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: Karolina93 »

W podpunkcie b nie mogę zapisać \(\displaystyle{ z_{n}}\) w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) , więc nie wiem jak mam obliczyć moduł.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: yorgin »

Bo próbujesz robić to jak automat, czego efektem jest nieumiejętność dostosowania się do zapisów, które nie odpowiadają wzorcom.

Masz policzyć moduł \(\displaystyle{ \left|\frac{n}{i^n}\right|}\).

Podpowiem, że jest pewna własność modułu, która trywializuje zadanie.
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: Karolina93 »

Tak, wiem, że mam policzyć moduł, ale z jakiego wzoru skorzystać w takim razie ?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: yorgin »

Eh...

\(\displaystyle{ \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}}\).
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: Karolina93 »

\(\displaystyle{ \frac{|n|}{|i^{n}|}}\) Nie wiem jak dalej mam to policzyć...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ \left| i^{n}\right| =\left| i\right| ^{n}}\) - ogólnie dla każdej liczby zespolonej \(\displaystyle{ a}\) masz \(\displaystyle{ \left| a^{n}\right| =\left| a\right| ^{n}}\)
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: Karolina93 »

Mianownik wyszedł mi 1. A jak obliczyć \(\displaystyle{ |n|}\) ?
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: musialmi »

A \(\displaystyle{ n}\) ma jaką część rzeczywistą, a jaką urojoną?
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: Karolina93 »

urojona 0 a rzeczywista n
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: musialmi »

No to teraz przypomnij sobie jak się liczy moduł (lub czym jest moduł dla liczb zespolonych bez części urojonej - czyli dla liczb rzeczywistych) i masz odpowiedź
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

zbieżność szeregów zespolonych.

Post autor: Karolina93 »

No to wyniki całości wychodzi \(\displaystyle{ |n|}\) . Wynika stąd, że \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } n= \infty}\) . Zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego.
ODPOWIEDZ