funkcja holomorficzna

[dlawolfram1]

Należy znaleźć funkcję holomorficzną, gdy dana jest jej część rzeczywista

\(\displaystyle{ u(x,y) = y^2 - e^{-y} sinx -1}\)

jeśli funkcja jest holomorficzna to pochodne cząstkowe spełniają warunki Cauchy-Riemanna
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial u}{ \partial x} = \frac{ \partial v}{ \partial y} \\ \frac{ \partial u}{ \partial y} = \frac {- \partial v}{ \partial x} \end{cases}}\)

robię obliczenia

\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}(y^2 - e^{-y} sinx -1) = -e^{-y}cosx}\)
\(\displaystyle{ v(x,y)= \int (-e^{-y}cosx)dy = e^{-y}cosx + c(x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial y}(y^2 -e^{-y}sinx -1) = e^{-y}sinx + 2y}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial v}{ \partial x}(e^{-y}cosx + c(x)) = -e^{-y}sinx + c'(y)}\)


wychodzi mi na to, że nie zostały spełnione warunki. Czy moje obliczenia są poprawne?

[macik1423]

Trzeba teraz przyrównać \(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial y} = \frac {- \partial v}{ \partial x} }\), czyli

\(\displaystyle{ e^{-y} \sin x + 2y=-(-e^{-y} \sin x + c'(y))}\)

\(\displaystyle{ e^{-y} \sin x + 2y=e^{-y} \sin x - c'(y)}\)

\(\displaystyle{ 2y=-c'(y)}\)

i wyznaczyć \(\displaystyle{ c(y)}\).