Nierówność wielomian

[Wojteg]

Witam,

Niech \(\displaystyle{ a_i \in \mathbb{C}}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( z\right) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + ... + a_1z + a_0}\). Pokazać, że

\(\displaystyle{ \left| P\left( re^{i \theta}\right) \right| > \left| P\left( 0\right) \right|}\)

Dla \(\displaystyle{ \theta \in \left[ 0, 2 \pi \right]}\) i \(\displaystyle{ r > 1 + 2\left| a_0\right| + \left| a_1\right| + ... + \left| a_{n-1}\right|}\)

Będę wdzięczny za pomoc.

[ares41]

Na pierwszy rzut oka powinno pójść podobnie jak nierówność Arganda (Często nazywana lematem d'Alemberta - możesz to znaleźć pod obiema nazwami).

Można by spróbować uogólnić dla dowolnej funkcji holomorficznej korzystając np. z tw. o odwzorowaniu otwartym.