Zastosowanie Residuów

[Last]

Witam ! mam taki mały problem, ponieważ mam obliczyć całkę za pomocą residuów postaci:
\(\displaystyle{ \int_{C} \frac{dz}{(z-1)^{2}\ (z^{2}+1)}}\) gdzie \(\displaystyle{ C}\) - okrąg zorientowany dodatnio postaci \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2x+2y}\). wiadomo mianownik dzielę na \(\displaystyle{ (z-1)^{2}(z-i)(z+i)}\) a krzywa to okrąg środku w punkcie \(\displaystyle{ S(1,1)}\) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). I tutaj rodzi się moje pytanie. W jakich punktach mam liczyć residua ? tylko w \(\displaystyle{ 1}\) ?

[ares41]

Twierdzenie o residuach mówi wprost, że dla dowolnego cyklu \(\displaystyle{ \Gamma}\) homologicznego zeru w obszarze \(\displaystyle{ \Omega}\) i dla punktów \(\displaystyle{ z_1,...,z_k\in\Omega\setminus \Gamma^*}\) takich, że \(\displaystyle{ f\in\mathcal{O}\left(\Omega\setminus\{z_1,...,z_k\}\right)}\) mamy \(\displaystyle{ \int_{\Gamma}f(z)\mbox{d}z=2\pi i \sum_{j=1}^{k}\mathrm{Ind}_{\Gamma}(z_j)res_{z_j}f}\).
Nie możemy pominąć żadnego z punktów psujących holomorficzność - co najwyżej dla pewnych z nich odpowiedni indeks jest równy zeru i dlatego składnik od nich pochodzący znika w ostatecznym rozrachunku.