Matematyka.pl

Dostałem do rozwiązania 4 zadania z zakresu funkcji holomorficznych i równania C-R. Z trzema poradziłem zostało mi do zrobienia, to które prezentuję poniżej. Nie wiem jak się za to zabrać.

Niech:
\(\displaystyle{ u(x,y) = x^{2} - y^{2}}\)
Czy funkcja u jest częścią rzeczywistą funkcji holomorficznej? Jeśli tak, to znaleźć tę funkcję. Narysować po (po cztery - np. dla 1, -1, 2, -2) poziomice części rzeczywistej i części urojonej tej funkcji.

Bardzo proszę o pomoc. Dzięki z góry!!

W czym masz problem? Na szukanie odpowiedniej części urojonej mamy gotowy algorytm.

Mógłbyś mnie wspomóc, podając ten algorytm?

Najłatwiej zgadnąć, że

\(\displaystyle{ x^2 - y^2 = \Re ( x^2 - y^2 + 2 x y \mathrm i ) = \Re z^2.}\)

W sytuacji, kiedy zgadnąć jest trudno, szuka się tak:

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ u(x, y)}\) ma być częścią rzeczywistą pewnej funkcji holomorficznej \(\displaystyle{ f(x, y) = u(x, y) + \mathrm i v(x, y),}\) to muszą zachodzić równania Cauchy'ego-Riemanna:

\(\displaystyle{ \begin{cases} u_x = v_y \\ u_y = - v_x \end{cases}.}\)

Stąd otrzymujemy układ równań na \(\displaystyle{ v}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} v_y(x, y) = 2x \\ v_x(x, y) = 2y \end{cases}.}\)

Z pierwszego równania wynika, że

\(\displaystyle{ v(x, y) - v(x, 0) = \int \limits_0^y v_y(x, t) \, \dd t = \int \limits_0^y 2x \, \dd t = 2xy}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in \RR,}\)

czyli

\(\displaystyle{ v(x, y) = 2xy + \varphi(x),}\) gdzie \(\displaystyle{ \varphi(x) = v(x, 0).}\)

Z drugiego równania otrzymujemy

\(\displaystyle{ 2y + \varphi'(x) = \frac{\partial}{\partial x} (2xy + \varphi(x)) = v_x(x, y) = 2y,}\)

zatem \(\displaystyle{ \varphi'(x) = 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR.}\) Stąd \(\displaystyle{ \varphi}\) jest stała, czyli

\(\displaystyle{ v(x, y) = 2xy + c.}\)

I w istocie, dla dowolnej stałej \(\displaystyle{ c \in \RR}\) funkcja

\(\displaystyle{ f(x, y) = x^2 - y^2 + \mathrm i (2xy+c) = z^2 + \mathrm i c}\)

jest funkcją holomorficzną o części rzeczywistej równej \(\displaystyle{ x^2 - y^2.}\)