Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
wilktoja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 3 paź 2020, o 21:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 5 razy

Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: wilktoja » 18 lip 2021, o 21:51

Hej wiem że jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie \(\displaystyle{ z}\) to spełnia w nim warunki C-R, ale co musi być spełnione żeby była implikacja w drugą stronę? Aby funkcja była różniczkowalna w tym punkcie to musi ona spełniać w nim warunki C-R, muszą istnieć pochodne cząstkowe w tym punkcie i muszą być one w nim ciągłe? Tyle wystarczy?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3588
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 1243 razy

Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: Janusz Tracz » 18 lip 2021, o 22:57

Tak. Jeśli spełnione są równania C-R oraz pochodne cząstkowe są ciągłe to w \(\displaystyle{ z_0}\) istnieje pochodna.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2186
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 332 razy

Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: matmatmm » 19 lip 2021, o 13:11

Mam wrażenie, że to jednak za mało. Pochodne cząstkowe muszą istnieć w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ z_0}\).

Nie mam pod ręką wzoru tej funkcji, ale z dużym prawdopodobieństwem istnieje funkcja \(\displaystyle{ f:\RR^2\rightarrow\RR}\) taka, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, ma pochodne cząstkowe w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) równe \(\displaystyle{ 0}\), nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\), a także \(\displaystyle{ f(x,y)\neq 0}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\neq (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ f(0,0)=0}\).

Zdefiniujmy wówczas

\(\displaystyle{ u(x,y):=\begin{cases}f(x,y) & ,(x,y)\in\QQ\times\QQ \\ 0 & ,(x,y)\in\RR^2\setminus\QQ\times\QQ\end{cases}}\)

Funkcja \(\displaystyle{ u}\) ma pochodne cząstkowe w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i tylko w tym punkcie, dlatego są one ciągłe. Jednak \(\displaystyle{ u}\) nie jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i dlatego nie może być częścią rzeczywistą (ani urojoną) funkcji różniczkowalnej w \(\displaystyle{ (0,0)}\) w sensie zespolonym.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3588
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 1243 razy

Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: Janusz Tracz » 19 lip 2021, o 18:40

Wydaje mi się, że istnieje zamieszanie w nomenklaturze. To co opisujesz to holomorficzność funkcji. Jeśli różniczkowalność oznacza dokładnie holomorficzność to masz rację. Ale z tego co widzę na przykład w książce Funkcje Zespolone, Jolanty Długosz to istnieje też podejście głoszące, że holomorficzność to różniczkowalność w otoczeniu. Pewne cytaty
Jolanta Długosz warunek wystarczający istnienia pochodnej pisze:Jeśli pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji \(\displaystyle{ u(x,y),v(x,y)}\) są ciągłe w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) i spełnione są w równania C-R, to funkcja zespolona \(\displaystyle{ f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}\) (gdzie \(\displaystyle{ z=x+iy}\)) ma pochodną w punkcie \(\displaystyle{ z_0=x_0+iy_0}\). Ponadto

\(\displaystyle{ f'(z_0)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)-iu_y(x_0,y_0).}\)
i dalej
Jolanta Długosz funkcja holomorficzna w punkcie i obszarze pisze:Mówimy, że funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\) jest holomorficzna w punkcie \(\displaystyle{ z_0}\) jeśli ma pochodną \(\displaystyle{ f'(z)}\) w pewnym otoczeniu tego punktu...
Istnieje funkcja różniczkowalna w punkcie ale nie holomorficzna. Przykład to \(\displaystyle{ \left[ \CC \ni z\mapsto \left| z\right|^2 \in\CC \right] }\) funkcja jest różniczkowalna tylko w jednym punkcie \(\displaystyle{ z_0=0}\) pokazuje to bezpośredni rachunek ale nie jest holomorficzna. Ale faktycznie często o tym otwartym otoczeniu się słyszy. Przykładowo tutaj

Kod: Zaznacz cały

https://www.math.drexel.edu/~tolya/complex%20differentiability%20vs%20real%20differentiability.pdf
Complex differentiability pisze:Sufficient condition. Let the first partial derivatives of \(\displaystyle{ u}\) and \(\displaystyle{ v}\) exist in an open neighborhood of \(\displaystyle{ z_0}\). If these partial derivatives are continuous at \(\displaystyle{ z_0}\) and satisfy the Cauchy–Riemann equations at \(\displaystyle{ z_0}\), then \(\displaystyle{ f = u + iv}\) is differentiable at \(\displaystyle{ z_0}\).
Ok to prawda ale taki zestaw warunków daje holomorficzność (tu prawdopodobnie utożsamioną z różniczkowalnością). Jednak to nadmiar warunków do tego aby wartość \(\displaystyle{ f'(z_0)}\) (rozumiana jako granicza ilorazu różnicowego) istniała.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2186
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 332 razy

Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: matmatmm » 19 lip 2021, o 20:43

Nie zgodzę się. Mój kontrprzykład pozwala skonstruować funkcję \(\displaystyle{ \CC\rightarrow\CC}\), która nie jest różniczkowalna w zerze (a spełnia sugerowane warunki wystarczające). Proponowane rozróżnienie między funkcją holomorficzną a różniczkowalną nie ma w tym przypadku związku.

Żeby była jasność, funkcja \(\displaystyle{ u}\) z mojego poprzedniego posta to część rzeczywista. Za część urojoną trzeba przyjąć np. funkcję stale równą zero.

Janusz Tracz pisze:
19 lip 2021, o 18:40
Complex differentiability pisze:Sufficient condition. Let the first partial derivatives of \(\displaystyle{ u}\) and \(\displaystyle{ v}\) exist in an open neighborhood of \(\displaystyle{ z_0}\). If these partial derivatives are continuous at \(\displaystyle{ z_0}\) and satisfy the Cauchy–Riemann equations at \(\displaystyle{ z_0}\), then \(\displaystyle{ f = u + iv}\) is differentiable at \(\displaystyle{ z_0}\).
Ok to prawda ale taki zestaw warunków daje holomorficzność (tu prawdopodobnie utożsamioną z różniczkowalnością). Jednak to nadmiar warunków do tego aby wartość \(\displaystyle{ f'(z_0)}\) (rozumiana jako granicza ilorazu różnicowego) istniała.
Co tutaj rozumiesz przez nadmiar? Istnienie pochodnych cząstkowych w otoczeniu według mnie nie może zostać pominięte.

Dodano po 4 minutach 57 sekundach:
Zacytowane twierdzenie z książki Jolanty Długosz wydaje mi się być nieprawdziwe. Zapomniano tutaj np. o przypadku, gdy pochodne cząstkowe istnieją tylko w jednym punkcie, przez co są ciągłe w trywialny sposób.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3588
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 1243 razy

Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: Janusz Tracz » 19 lip 2021, o 21:10

matmatmm pisze:
19 lip 2021, o 20:48
Co tutaj rozumiesz przez nadmiar? Istnienie pochodnych cząstkowych w otoczeniu według mnie nie może zostać pominięte.
Pewnie masz rację. Niestety jestem głupi. To, że \(\displaystyle{ \left| z\right|^2 }\) jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ z_0=0}\) choć otoczenie nie istnieje nie oznacza, że założenie o otoczeniu można zawsze odpuścić.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2186
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 332 razy

Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: matmatmm » 19 lip 2021, o 21:40

Przecież w przypadku funkcji \(\displaystyle{ z\mapsto |z|^2}\) i \(\displaystyle{ z_0=0}\) to otoczenie jak najbardziej istnieje. Wtedy \(\displaystyle{ u(x,y)=x^2+y^2}\), a \(\displaystyle{ v(x,y)=0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ (x,y)\in\RR^2}\). Pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) istnieją wszędzie.

Mylisz zdaje się różniczkowalność funkcji zespolonej z istnieniem pochodnych cząstkowych części rzeczywistej i urojonej.

Mlodsza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: Mlodsza » 11 sty 2022, o 21:06

Wskocze w temat, jesli mozna. Prosze o poprawienie, gdzie sie myle. Mowa tylko o funkcjach zespolonych i rozniczkowalnosci w sensie zespolonym:

1. Funkcja rozniczkowalna jest nieskonczenie rozniczkowalna.
2. Funkcja nie moze byc rozniczkowalna tylko w jednym jedynym punkcie. Bo: Jesli nie istnieje pochodna w otoczeniu punktu, to nie jest mozliwym znalezienie drugiej pochodnej w tym punkcie.
3. Funkcja

\(\displaystyle{ f(z)=zRe(z) }\) moze byc rozniczkowalna tylko poza zerem (co widac z warunkow Cauchy-Riemanna)

4. Obliczajac pochodna funkcji \(\displaystyle{ f}\) w zerze z definicji otrzymujemy, ze pochodna istnieje (jest rowna zero).

Otrzymujemy sprzecznosc.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2186
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 332 razy

Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: matmatmm » 13 sty 2022, o 22:14

Żeby funkcja różniczkowalna była różniczkowalna nieskończenie wiele razy, to musi być różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru otwartego. Dlatego punkt drugi
Mlodsza pisze:
11 sty 2022, o 21:06
2. Funkcja nie moze byc rozniczkowalna tylko w jednym jedynym punkcie. Bo: Jesli nie istnieje pochodna w otoczeniu punktu, to nie jest mozliwym znalezienie drugiej pochodnej w tym punkcie.
jest nieprawdziwy.

Zakładam, że tutaj
Mlodsza pisze:
11 sty 2022, o 21:06
3. Funkcja

\(\displaystyle{ f(z)=zRe(z) }\) moze byc rozniczkowalna tylko poza zerem (co widac z warunkow Cauchy-Riemanna)
miało być "tylko w zerze".

Mlodsza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: Mlodsza » 1 lut 2022, o 18:12

matmatmm pisze:
13 sty 2022, o 22:14
Żeby funkcja różniczkowalna była różniczkowalna nieskończenie wiele razy, to musi być różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru otwartego. Dlatego punkt drugi
Mlodsza pisze:
11 sty 2022, o 21:06
2. Funkcja nie moze byc rozniczkowalna tylko w jednym jedynym punkcie. Bo: Jesli nie istnieje pochodna w otoczeniu punktu, to nie jest mozliwym znalezienie drugiej pochodnej w tym punkcie.
jest nieprawdziwy.

Zakładam, że tutaj
Mlodsza pisze:
11 sty 2022, o 21:06
3. Funkcja

\(\displaystyle{ f(z)=zRe(z) }\) moze byc rozniczkowalna tylko poza zerem (co widac z warunkow Cauchy-Riemanna)
miało być "tylko w zerze".
Tak, oczywiscie, dziekuje, tylko w zerze.

A propos (2), nie rozumiem, dlaczego nieprawdziwy? Piszesz, "musi być różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru otwartego". I to prawda, wlasnie to mialam na mysli.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2186
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 332 razy

Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: matmatmm » 2 lut 2022, o 10:21

Są przykłady funkcji różniczkowalnej tylko w jednym punkcie. Twoje uzasadnienie punktu 2 opiera się na punkcie 1, który w tym przypadku także jest nieprawdziwy, ponieważ
Żeby funkcja różniczkowalna była różniczkowalna nieskończenie wiele razy, to musi być różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru otwartego.

Mlodsza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: Mlodsza » 14 lut 2022, o 02:50

matmatmm pisze:
2 lut 2022, o 10:21
Są przykłady funkcji różniczkowalnej tylko w jednym punkcie. Twoje uzasadnienie punktu 2 opiera się na punkcie 1, który w tym przypadku także jest nieprawdziwy, ponieważ
Żeby funkcja różniczkowalna była różniczkowalna nieskończenie wiele razy, to musi być różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru otwartego.
Mowimy o funkcjach zespolonych.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2186
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 332 razy

Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?

Post autor: matmatmm » 14 lut 2022, o 15:17

Tak, wiem i pozostaję przy swojej tezie.

ODPOWIEDZ