Udowodnić twierdzenie:
Niech \(\displaystyle{ \lambda\ge1}\) oraz \(\displaystyle{ \mu\ge1}\). Jeżeli \(\displaystyle{ \Gamma(\lambda+\mu)\ge2\Gamma(\mu)}\), wtedy funkcja Wright \(\displaystyle{ W_{\lambda,\mu}}\) jest zbliżona do wypukłości w stosunku \(\displaystyle{ g=z/(1-z)}\).
Trzeba skorzytać z lematu:
Niech funkcja \(\displaystyle{ f \in A }\) będzie w postaci \(\displaystyle{ f(z)=z+ \sum_{n=2}^{\infty} a_{n}z^n }\) , \(\displaystyle{ z \in D}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ 1 \ge 2a_{2} \ge ... \ge na_{n} \ge (n+1)a_{n+1} ... \ge 0 }\) oraz
\(\displaystyle{ 1 \le 2a_{2} \le na_{n} \le ... \le (n+1)a_{n+1} ... \le 2 }\) ,
to funkcja f jest zbliżenie wypukła względem \(\displaystyle{ g(z)=z/(1-z) }\).
Proszę o pomoc z dowodem
Re: Proszę o pomoc z dowodem
Co za bełkot. Jakieś nieudolne tłumaczenie z angielskiego. Lepiej podaj literaturę, skąd to wziąłeś, bo to językowe kalectwo.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 3 kwie 2015, o 14:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
Re: Proszę o pomoc z dowodem
Literatura: MATHEMATICA BOHEMICA . Vol. 143 (2018) - Publisher and Editorial Office: Institute of Mathematics, Czech Academy of Sciences
Theorem. Let \(\displaystyle{ \lambda\ge1}\) and \(\displaystyle{ \mu\ge1}\). If \(\displaystyle{ \Gamma(\lambda+\mu)\ge2\Gamma(\mu)}\), then \(\displaystyle{ W_{\lambda,\mu}}\) is close-to-convex with respect to \(\displaystyle{ g(z)=z/(1-z)}\).
Theorem. Let \(\displaystyle{ \lambda\ge1}\) and \(\displaystyle{ \mu\ge1}\). If \(\displaystyle{ \Gamma(\lambda+\mu)\ge2\Gamma(\mu)}\), then \(\displaystyle{ W_{\lambda,\mu}}\) is close-to-convex with respect to \(\displaystyle{ g(z)=z/(1-z)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 3 kwie 2015, o 14:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
Re: Proszę o pomoc z dowodem
Definicja close-to-convex:
Let \(\displaystyle{ A}\) denote the class of analytic functions in the open unit disk \(\displaystyle{ D:=\{z \in \CC:|z|<1\}}\) having the form
\(\displaystyle{ f(z)=z+ \sum_{n=2}^{\infty} a_{n}z^{n}, z \in D}\).
Function \(\displaystyle{ f \in A}\) is called close-to-convex in \(\displaystyle{ D}\) if the complement of \(\displaystyle{ f(D)}\) can be written as union of non-intersecting half-lines. A function \(\displaystyle{ f \in A}\) is close-to-convex with respect to a starlike function \(\displaystyle{ g}\), denoted by \(\displaystyle{ \CCC_{g}}\), if it satisfies \(\displaystyle{ \Re\left\{ z f '(z)/g(z)\right\} >0, z \in D}\).
Let \(\displaystyle{ A}\) denote the class of analytic functions in the open unit disk \(\displaystyle{ D:=\{z \in \CC:|z|<1\}}\) having the form
\(\displaystyle{ f(z)=z+ \sum_{n=2}^{\infty} a_{n}z^{n}, z \in D}\).
Function \(\displaystyle{ f \in A}\) is called close-to-convex in \(\displaystyle{ D}\) if the complement of \(\displaystyle{ f(D)}\) can be written as union of non-intersecting half-lines. A function \(\displaystyle{ f \in A}\) is close-to-convex with respect to a starlike function \(\displaystyle{ g}\), denoted by \(\displaystyle{ \CCC_{g}}\), if it satisfies \(\displaystyle{ \Re\left\{ z f '(z)/g(z)\right\} >0, z \in D}\).
Ostatnio zmieniony 4 lis 2019, o 14:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Nawiasy klamrowe to \{,\}.
Powód: Poprawa wiadomości. Nawiasy klamrowe to \{,\}.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Proszę o pomoc z dowodem
Twierdzenie
Niech \(\displaystyle{ \lambda \geq 1, \ \ \mu \geq 1.}\) Jeżeli \(\displaystyle{ \Gamma(\lambda + \mu) \geq 2\Gamma(\mu) ,}\) to funkcja Wright'a jest funkcją prawie wypukłą ze względu na \(\displaystyle{ g(z) = \frac{z}{1-z}. }\)
Dowód Pańskiego twierdzenia - oparty jest na funkcji Maitlanda E. Wright'a \(\displaystyle{ W_{\lambda, \mu} }\) i podanym lemacie, którego dowód można znaleźć w artykule
S. Ozaki. On the theory of mulivalent functions II Sci. Rep. Tokyo Bunrika Daigahu Sec A,4(1941) 45-87.
Niech \(\displaystyle{ \lambda \geq 1, \ \ \mu \geq 1.}\) Jeżeli \(\displaystyle{ \Gamma(\lambda + \mu) \geq 2\Gamma(\mu) ,}\) to funkcja Wright'a jest funkcją prawie wypukłą ze względu na \(\displaystyle{ g(z) = \frac{z}{1-z}. }\)
Dowód Pańskiego twierdzenia - oparty jest na funkcji Maitlanda E. Wright'a \(\displaystyle{ W_{\lambda, \mu} }\) i podanym lemacie, którego dowód można znaleźć w artykule
S. Ozaki. On the theory of mulivalent functions II Sci. Rep. Tokyo Bunrika Daigahu Sec A,4(1941) 45-87.
Ostatnio zmieniony 4 lis 2019, o 15:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.