Iloczyn a szereg
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11367
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Iloczyn a szereg
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} \cos(x_n)}\) jest zbieżny jeśli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} x_n^2}\) jest zbieżny i czy jest także na odwrót.
Ostatnio zmieniony 25 cze 2022, o 15:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Iloczyn a szereg
Analiza to zdecydowanie nie moja działka, ale tak na pierwszy rzut oka to nieprawda.
\(\displaystyle{ x_n = \pi \frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } x_n^2}\) jest zbieżny, a \(\displaystyle{ \prod_{n = 1}^{\infty} \cos(x_n) = 0}\) czyli rozbieżny.
\(\displaystyle{ x_n = \pi \frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } x_n^2}\) jest zbieżny, a \(\displaystyle{ \prod_{n = 1}^{\infty} \cos(x_n) = 0}\) czyli rozbieżny.
Ostatnio zmieniony 26 cze 2022, o 19:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Iloczyn a szereg
Franciszek Leja w Funkcjach zespolonych definiuje zbieżność iloczynu w poniższy sposób:
i to chyba najsensowniejsza definicja, a zgodnie z nią zadanie jest poprawne.Iloczyn \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} a_n}\) nazywamy zbieżnym, jeżeli prawie wszystkie czynniki \(\displaystyle{ a_n}\) są różne od zera, np. \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ n > p}\), i jeżeli istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{p+1} a_{p+2} \ldots a_n = v}\) różna od zera. Ciąg \(\displaystyle{ u_n = a_1 a_2 \ldots a_n}\) dąży wówczas do granicy \(\displaystyle{ u = a_1 a_2 \ldots a_p \cdot v}\) zwanej wartością iloczynu \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} a_n}\).