Iloczyn a szereg

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} \cos(x_n)}\) jest zbieżny jeśli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} x_n^2}\) jest zbieżny i czy jest także na odwrót.

[Math_Logic]

Analiza to zdecydowanie nie moja działka, ale tak na pierwszy rzut oka to nieprawda.

\(\displaystyle{ x_n = \pi \frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } x_n^2}\) jest zbieżny, a \(\displaystyle{ \prod_{n = 1}^{\infty} \cos(x_n) = 0}\) czyli rozbieżny.

[Dasio11]

Franciszek Leja w Funkcjach zespolonych definiuje zbieżność iloczynu w poniższy sposób:

Iloczyn \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} a_n}\) nazywamy zbieżnym, jeżeli prawie wszystkie czynniki \(\displaystyle{ a_n}\) są różne od zera, np. \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ n > p}\), i jeżeli istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{p+1} a_{p+2} \ldots a_n = v}\) różna od zera. Ciąg \(\displaystyle{ u_n = a_1 a_2 \ldots a_n}\) dąży wówczas do granicy \(\displaystyle{ u = a_1 a_2 \ldots a_p \cdot v}\) zwanej wartością iloczynu \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} a_n}\).

i to chyba najsensowniejsza definicja, a zgodnie z nią zadanie jest poprawne.