Ciąg zbieżny

[Niepokonana]

Proszę mi wytłumaczyć, dlaczego ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ \frac{(-1)^{n}}{n}}\) jest zbieżny? Ja nie rozumiem.

[Jan Kraszewski]

Ciąg czy szereg?

JK

[Niepokonana]

Szereg.

[Jan Kraszewski]

Rozumiem, że odpowiedź "bo spełnia kryterium Leibniza" Ci nie wystarcza?

JK

[Niepokonana]

Tak.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n}=-1+ \sum_{k=1}^{ \infty } ( \frac{1}{2k}+ \frac{-1}{2k+1} )= -1+\sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{2k(2k+1)} < -1+ \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{k^2} }\)

[a4karo]

Oczywiście kerajs tu troszeczkę zażartował, bo przecież
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n=-1+\sum_{k=2}^\infty ((-1)^k+(-1)^{k+1})=-1+\sum_{k=1}^\infty 0=-1}\)

Ale na podstawie jego sugestii pewnie potrafisz napisać poprawny dowód.