zbieżność szeregu liczbowego
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5742
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Re: zbieżność szeregu liczbowego
Zauważmy, że szereg jest typu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } (-1)^{c_{n}}a_{n}, a_{n}>0}\)
Tylko zmiany znaków tak szybko nie następują ze względu na słabo rosnącą funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)=\ln\ln (x)}\)
pierwszy wyraz szeregu jest mniejszy od zera, i następne jeszcze długo będą, zastanówmy się jak szybko następują zmiany znaków...
kiedy:
jeżeli mamy jakieś \(\displaystyle{ n}\) nastąpi zmiana znaku na przeciwny, czyli:
\(\displaystyle{ \ln\ln (m)=\pi+\ln\ln (n) }\)
\(\displaystyle{ \ln m=e^{\pi}e^{\ln\ln (n)}}\)
\(\displaystyle{ \ln m=e^{\pi}\ln n}\)
\(\displaystyle{ m=n^{e^{\pi}} }\)
\(\displaystyle{ a=e^{\pi}>23}\)
A następna zmiana znaku będzie jak widać po:
\(\displaystyle{ n^{a^2}}\)
Szereg zaczyna się od wartości ujemnych, potem dodatnie, itd...
obliczając przybliżoną wartość:
\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{i=n^a} \frac{\cos(\ln\ln i)}{\ln i} }\) - tu np. będzie cały czas na minusie
\(\displaystyle{ \sum_{i=n^a}^{i=n^{a^2}} \frac{\cos(\ln\ln i)}{\ln i} }\) - tu będzie cały czas na plusie
Pierwsza suma może być większa lub równa od
\(\displaystyle{ -s\sum_{i=n}^{i=n^a} \frac{1}{\ln i} }\)
druga suma może być większa lub równa od:
\(\displaystyle{ s\sum_{i=n^a}^{i=n^{a^2}} \frac{1}{\ln i} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{i=n^a} \frac{1}{\ln i} = \frac{1}{\ln n} +\frac{1}{\ln (n+1)} +...+ \frac{1}{\ln n^a} \le \frac{n^a}{\ln n} }\)
Czyli aproksymuje się to do:
\(\displaystyle{ -s\frac{n^a}{\ln n}}\)
To drugie analogicznie aproksymuje się do:
\(\displaystyle{ s \frac{n^{a^2}}{a^2 \ln n} }\)
Suma na plusie po dodaniu sumy na minusie da:
\(\displaystyle{ s \frac{n^{a^2}-a^2n^a}{a^2\ln n} }\)
co po obłożeniu sumą:
\(\displaystyle{ s\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n^{a^2}-a^2n^a}{a^2\ln n} , s>0, a>23}\)
da szereg rozbieżny...
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } (-1)^{c_{n}}a_{n}, a_{n}>0}\)
Tylko zmiany znaków tak szybko nie następują ze względu na słabo rosnącą funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)=\ln\ln (x)}\)
pierwszy wyraz szeregu jest mniejszy od zera, i następne jeszcze długo będą, zastanówmy się jak szybko następują zmiany znaków...
kiedy:
jeżeli mamy jakieś \(\displaystyle{ n}\) nastąpi zmiana znaku na przeciwny, czyli:
\(\displaystyle{ \ln\ln (m)=\pi+\ln\ln (n) }\)
\(\displaystyle{ \ln m=e^{\pi}e^{\ln\ln (n)}}\)
\(\displaystyle{ \ln m=e^{\pi}\ln n}\)
\(\displaystyle{ m=n^{e^{\pi}} }\)
\(\displaystyle{ a=e^{\pi}>23}\)
A następna zmiana znaku będzie jak widać po:
\(\displaystyle{ n^{a^2}}\)
Szereg zaczyna się od wartości ujemnych, potem dodatnie, itd...
obliczając przybliżoną wartość:
\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{i=n^a} \frac{\cos(\ln\ln i)}{\ln i} }\) - tu np. będzie cały czas na minusie
\(\displaystyle{ \sum_{i=n^a}^{i=n^{a^2}} \frac{\cos(\ln\ln i)}{\ln i} }\) - tu będzie cały czas na plusie
Pierwsza suma może być większa lub równa od
\(\displaystyle{ -s\sum_{i=n}^{i=n^a} \frac{1}{\ln i} }\)
druga suma może być większa lub równa od:
\(\displaystyle{ s\sum_{i=n^a}^{i=n^{a^2}} \frac{1}{\ln i} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{i=n^a} \frac{1}{\ln i} = \frac{1}{\ln n} +\frac{1}{\ln (n+1)} +...+ \frac{1}{\ln n^a} \le \frac{n^a}{\ln n} }\)
Czyli aproksymuje się to do:
\(\displaystyle{ -s\frac{n^a}{\ln n}}\)
To drugie analogicznie aproksymuje się do:
\(\displaystyle{ s \frac{n^{a^2}}{a^2 \ln n} }\)
Suma na plusie po dodaniu sumy na minusie da:
\(\displaystyle{ s \frac{n^{a^2}-a^2n^a}{a^2\ln n} }\)
co po obłożeniu sumą:
\(\displaystyle{ s\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n^{a^2}-a^2n^a}{a^2\ln n} , s>0, a>23}\)
da szereg rozbieżny...