zbieżność szeregu liczbowego

[ann_u]

Zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{\cos (\log( \log n)) }{\log n} }\).

[arek1357]

Zauważmy, że szereg jest typu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } (-1)^{c_{n}}a_{n}, a_{n}>0}\)

Tylko zmiany znaków tak szybko nie następują ze względu na słabo rosnącą funkcję:

\(\displaystyle{ f(x)=\ln\ln (x)}\)

pierwszy wyraz szeregu jest mniejszy od zera, i następne jeszcze długo będą, zastanówmy się jak szybko następują zmiany znaków...

kiedy:

jeżeli mamy jakieś \(\displaystyle{ n}\) nastąpi zmiana znaku na przeciwny, czyli:

\(\displaystyle{ \ln\ln (m)=\pi+\ln\ln (n) }\)

\(\displaystyle{ \ln m=e^{\pi}e^{\ln\ln (n)}}\)

\(\displaystyle{ \ln m=e^{\pi}\ln n}\)

\(\displaystyle{ m=n^{e^{\pi}} }\)


\(\displaystyle{ a=e^{\pi}>23}\)

A następna zmiana znaku będzie jak widać po:

\(\displaystyle{ n^{a^2}}\)

Szereg zaczyna się od wartości ujemnych, potem dodatnie, itd...

obliczając przybliżoną wartość:

\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{i=n^a} \frac{\cos(\ln\ln i)}{\ln i} }\) - tu np. będzie cały czas na minusie

\(\displaystyle{ \sum_{i=n^a}^{i=n^{a^2}} \frac{\cos(\ln\ln i)}{\ln i} }\) - tu będzie cały czas na plusie

Pierwsza suma może być większa lub równa od

\(\displaystyle{ -s\sum_{i=n}^{i=n^a} \frac{1}{\ln i} }\)

druga suma może być większa lub równa od:

\(\displaystyle{ s\sum_{i=n^a}^{i=n^{a^2}} \frac{1}{\ln i} }\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{i=n^a} \frac{1}{\ln i} = \frac{1}{\ln n} +\frac{1}{\ln (n+1)} +...+ \frac{1}{\ln n^a} \le \frac{n^a}{\ln n} }\)

Czyli aproksymuje się to do:

\(\displaystyle{ -s\frac{n^a}{\ln n}}\)

To drugie analogicznie aproksymuje się do:

\(\displaystyle{ s \frac{n^{a^2}}{a^2 \ln n} }\)

Suma na plusie po dodaniu sumy na minusie da:

\(\displaystyle{ s \frac{n^{a^2}-a^2n^a}{a^2\ln n} }\)

co po obłożeniu sumą:

\(\displaystyle{ s\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n^{a^2}-a^2n^a}{a^2\ln n} , s>0, a>23}\)

da szereg rozbieżny...