Zbadać zbieżność szeregu naprzemiennego za pomocą kryterium Leibniza

[hutsalo]

Mam kolejny przykład ze zbieżności szeregu naprzemiennego za pomocą kryterium Leibniza

\(\displaystyle{

\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1\right) ^{n+1} \cdot \left( \sqrt[n]{3} - 1 \right)

}\)

Zapisałem coś takiego tylko nie wiem czy dobrze. To są oczywiście początkowe obliczenia:

\(\displaystyle{

\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1\right) ^{n+1} \cdot \left( \sqrt[n]{3} - 1 \right) = \left( -1\right) ^{n} \cdot \left( -1\right) \cdot \left( \sqrt[n]{3} - 1 \right) = \left( -1\right) ^{n} \cdot \left( \sqrt[n]{3} - 1 \right) = \left( -1\right) ^{n} \cdot 3^{ \frac{1}{n} } - 1

}\)

Czy na razie dobrze robie? Czy w tym wypadku mój ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = 3^{ \frac{1}{n} } - 1 }\) wynosi właśnie tyle?

[Janusz Tracz]

To są oczywiście początkowe obliczenia:

\(\displaystyle{

\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1\right) ^{n+1} \cdot \left( \sqrt[n]{3} - 1 \right) = \left( -1\right) ^{n} \cdot \left( -1\right) \cdot \left( \sqrt[n]{3} - 1 \right) = \left( -1\right) ^{n} \cdot \left( \sqrt[n]{3} - 1 \right) = \left( -1\right) ^{n} \cdot 3^{ \frac{1}{n} } - 1

}\)

Czy na razie dobrze robie?

Nie jest to dobrze. Te równości nie mają sensu. Mimo wszystko stosując zasadę życzliwej interpretacji zapytam czy wiesz co w tym zadaniu w ogóle trzeba sprawdzić i czy znasz kryterium Leibniza? Dodam też, że to zadanie można praktycznie rozwiązać bez pisania jakichkolwiek znaczków matematycznych. Zapewniam, że istnieje poprawne rozwiązanie zapisywalne prozą. Nie popadając jednak w skrajności postaraj się ograniczyć ilość znaczków matematycznych do niezbędnego minimum.

[hutsalo]

To są oczywiście początkowe obliczenia:

\(\displaystyle{

\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1\right) ^{n+1} \cdot \left( \sqrt[n]{3} - 1 \right) = \left( -1\right) ^{n} \cdot \left( -1\right) \cdot \left( \sqrt[n]{3} - 1 \right) = \left( -1\right) ^{n} \cdot \left( \sqrt[n]{3} - 1 \right) = \left( -1\right) ^{n} \cdot 3^{ \frac{1}{n} } - 1

}\)

Czy na razie dobrze robie?

Nie jest to dobrze.

Jakbyś mógł wskazać co jest źle to by było prościej?
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1\right) ^{n+1} \cdot \left( \sqrt[n]{3} - 1 \right)
}\)
to \(\displaystyle{ \left( -1\right) ^{n+1}}\) przekształcam tak \(\displaystyle{ \left( -1\right) ^{n+1} = \left( -1\right) \cdot \left( -1\right) ^{n} = \left( -1\right) ^{n} }\). I to część jest źle? Jeśli uważasz że to jest źle to co powiesz na taki przykład \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \left( -1\right) ^{n+1} }{n} = \frac{\left( -1\right) ^{n} \cdot \left( -1\right) }{n} = \left( -1\right) ^{n} \cdot \left( - \frac{1}{n} \right) }\). Czy to według ciebie też jest źle? Kryterium Leibniza mówi mówi, że jeśli ciąg \(\displaystyle{ a_{n} }\) jest malęjący, dodatni(nieujemny) i granica tego ciągu wynosi 0 \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} = 0 }\) to szereg naprzemienny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1\right) ^{n} a_{n} }\) jest zbieżny

[Janusz Tracz]

Jakbyś mógł wskazać co jest źle to by było prościej?

To ja może powiem co jest dobrze. Tylko równość

\(\displaystyle{ (-1)^{n+1}=(-1) \cdot (-1)^n}\)

jest dobrze. Reszta równości jest źle. Pozwól, że nie będę tłumaczyć dlaczego reszta jest źle. Wydaje mi się, że osobie przystępującej do badania zbieżności szeregu nie trzeba tłumaczyć dlaczego napisy \(\displaystyle{ \left( -1\right) \cdot \left( -1\right) ^{n} = \left( -1\right) ^{n}}\) czy \(\displaystyle{ \left( -1\right) ^{n} \cdot \left( \sqrt[n]{3} - 1 \right) = \left( -1\right) ^{n} \cdot 3^{ \frac{1}{n} } - 1 }\) to bzdura. Jeśli jednak nie wiesz dlaczego równości te nie zachodzą to polecam poczytać książkę z arytmetyki (i wedle uznania suplementować ją dyskusją na forum ale nie w wątku o zbieżności szeregów).

PS Widzę, że lekko zmieniłeś treść postu. Nie szkodzi moja odpowiedź pozostaje niezmienna.

Czy to według ciebie też jest źle?

Tak.

[hutsalo]

Zatem czy mogę liczyć na pomoc? Niestety asem nie jestem i potrzebna mi w tej kwestii pomoc

[a4karo]

Już w poprzednim wątku dostałęś radę: zamiast szamotać się ze znaczkami, których znaczenia nie rozumiesz, zacznij od poznania tematu. Do tego powinieneś wrócić do szkoły średniej (a może i do podstawowej.

[arek1357]

Tylko podpowiem, że masz tam szereg naprzemienny, poczytaj o kryterium zbieżności takiego szeregu i na tej podstawie wyciąg wniosek...