Granica z szeregiem

[Mlodsza]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}e^{-n}\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}}\)

Jak to ugryzc?

[Premislav]

To zadanie ma sporo wspólnego z rachunkiem prawdopodobieństwa, ale przerabiałem to z 7 lat temu i mogę pomieszać jakieś szczegóły. Otrzymałem je niegdyś w ramach ćwiczeń z tego właśnie kursu, nie żebym był taki pomysłowy, tylko mam w miarę dobrą pamięć.

Rozważmy ciąg niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_k)_{k=1}^{+\infty}}\) o jednakowym rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=1}\).
Ponieważ suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona też ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\) będącym sumą poszczególnych parametrów, więc zmienna losowa \(\displaystyle{ Y_n=X_1+X_2+\ldots+X_n}\) również ma rozkład Poissona, z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=n}\). Mamy \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_k=1, \ k=1,2\ldots}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf{Var}X_k=1}\) (bo zmienna losowa o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\) ma wartość oczekiwaną i wariancję równą \(\displaystyle{ \lambda}\)), toteż
na mocy

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Centralne_twierdzenie_graniczne

jest
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\mathbf{P}(X_1+X_2+\ldots+X_n\le n)\\=\lim_{n\to \infty}\mathbf{P}\left( \frac{X_1+X_2+\ldots+X_n-n}{\sqrt{n}}\le 0\right)=\Phi(0)=\frac{1}{2}}\)
(\(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\)).
Innymi słowy,
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\mathbf{P}(Y_n\le n)=\frac{1}{2}}\), ale skoro \(\displaystyle{ Y_n}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathbf{Poiss}(n)}\), to właśnie jest
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y_n\le n)=\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}}\), co kończy rozwiązanie zadania.

Widziałem kiedyś rozwiązanie analityczne (widziałam orła cień) i człowieeeeku, jaka masakra, do dziś czasem mi się śni w koszmarach.

[Mlodsza]

Bardzo zgrabne, dzieki:) Tez mi takie cos chodzilo po glowie, ale nie wiem czemu wydawalo mi sie, ze metodami analizy matematycznej powinno byc prosciej. A ty mowisz, ze masakra ))) A pamietasz cos? Podstawowa idee moze?

[Premislav]

Sorki, trochę zapomniałem o tym wątku, a trochę mam roboty w pracy. Nie potrafiłem odtworzyć tego rozwiązania (tam też się przewijał rachunek całkowy, ale inaczej, śni mi się tylko jedna koszmarna całka, a idei nie kumam), ale na stackexchange mają dobre rozwiązanie analityczne:

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/160248/evaluating-lim-limits-n-to-infty-e-n-sum-limits-k-0n-fracnkk

.
A, no i oczywiście tam na końcu mojej poprzedniej wypowiedzi w tym wątku napisałem \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}}\) zamiast poprawnego \(\displaystyle{ e^{-n}\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}}\), ale to raczej łatwo zauważyć.