Następny Szereg

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{3}{2 \cdot 5}+ \frac{5}{5 \cdot 10}+ \frac{7}{10 \cdot 17}+ ... = \frac{1}{2} }\)

(w mianownikach mamy przesunięte o jeden kolejne kwadraty , a w liczniku liczby nieparzyste)

[Tmkk]

A to nie będzie po prostu

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty \frac{2k+1}{(k^2+1)((k+1)^2+1)} = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k^2+1} - \frac{1}{(k+1)^2+1}\right) = \lim_{M \to \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(M+1)^2+1}\right) = \frac{1}{2}}\),

jako suma teleskopowa?

[a4karo]

Tak. To jest szczególny przypadek takiego wyniku:
Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest dowolną funkcja określoną na \(\displaystyle{ [1,\infty)}\) i `a` jest liczbą rzeczywistą taką, że `a\ne -f(k)` dla każdego `k`, to szereg

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{f(k+1)-f(k)}{(f(k)+a))(f(k+1)+a)}}\)

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy istnieje granica

\(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty} f(k)=F}\)

i jego sumą jest

\(\displaystyle{ \frac{1}{f(1)+a}-\frac{1}{F+a}.}\)