Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{3}{2 \cdot 5}+ \frac{5}{5 \cdot 10}+ \frac{7}{10 \cdot 17}+ ... = \frac{1}{2} }\)
(w mianownikach mamy przesunięte o jeden kolejne kwadraty , a w liczniku liczby nieparzyste)
Następny Szereg
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11378
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Następny Szereg
A to nie będzie po prostu
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty \frac{2k+1}{(k^2+1)((k+1)^2+1)} = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k^2+1} - \frac{1}{(k+1)^2+1}\right) = \lim_{M \to \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(M+1)^2+1}\right) = \frac{1}{2}}\),
jako suma teleskopowa?
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty \frac{2k+1}{(k^2+1)((k+1)^2+1)} = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k^2+1} - \frac{1}{(k+1)^2+1}\right) = \lim_{M \to \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(M+1)^2+1}\right) = \frac{1}{2}}\),
jako suma teleskopowa?
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Następny Szereg
Tak. To jest szczególny przypadek takiego wyniku:
Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest dowolną funkcja określoną na \(\displaystyle{ [1,\infty)}\) i `a` jest liczbą rzeczywistą taką, że `a\ne -f(k)` dla każdego `k`, to szereg
Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest dowolną funkcja określoną na \(\displaystyle{ [1,\infty)}\) i `a` jest liczbą rzeczywistą taką, że `a\ne -f(k)` dla każdego `k`, to szereg
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{f(k+1)-f(k)}{(f(k)+a))(f(k+1)+a)}}\)
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy istnieje granica
\(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty} f(k)=F}\)
i jego sumą jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{f(1)+a}-\frac{1}{F+a}.}\)