Zmiany znaków

[mol_ksiazkowy]

?Udowodnić, że szereg harmoniczny \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} +... }\) nadal będzie rozbieżny, gdy pozmienia się znaki jego wyrazów: po każdych \(\displaystyle{ p}\) wyrazach dodatnich jest \(\displaystyle{ q}\) wyrazów ujemnych i \(\displaystyle{ p \neq q}\). Co jeśli \(\displaystyle{ p=q}\) ?

[a4karo]

Dla ustalenia uwagi niech `p>q`. Pomalujmy w każdej grupie wyrazów ze znakiem `+` pierwszych `p-q` wyrazów na zielono, pozostałe na czerwono, zaś wszystkie ze znakami `-` na czarno.
Widać z tego obrazka, że pierwsze w każdej grupie zielone wyrazy utworzą odwrotności ciagu arytmetycznego , a suma wyrazów w każdej z grup czerwonych przewyższa sumę wyrazów w następującej grupie czarnych. Sumy częściowe zatem będą zatem większe od sum częściowych szeregu złożonego z wyrazów zielonych, a ta dąży do nieskończoności.

Jeżeli `p=q`, to oznaczmy przez `c_i` sumy w kolejnych grupach czerwonych, a przez `b_i` sumy modułów w kolejnych grupach czarnych.
Wtedy `c_1>b_1>c_2>b_2>...` oraz `c_i\to 0`co oznacza zbieżność szeregu na mocy kryterium Leibniza