Dzień dobry, na zajęciach przerabiamy właśnie szeregi i ostatnio spotkałam się z przykładami takimi jak
\(\displaystyle{ a)\ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \cos\left( \frac{1}{n}\right)\\
b)\ \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[3]{n}\tg\left( \frac{1}{n ^{3} }\right)\\
c) \ \sum_{n=1}^{\infty}\sin\left( \frac{2}{n}\right) }\)
I w prezentacjach spotkałam się z szacowaniem typu (do przykładu c)
\(\displaystyle{ \sin(x)<x\\
\sin(x)>x \frac{ \pi }{2} }\)
Kompletnie nie wiem z czego to wynika oraz jakby to wyglądało w przypadku cos, tg i ctg. Proszę o pomoc, gdzie mogę znaleźć informacje o takich własnościach?
Szacowanie, sinus cosinus
-
zofia48
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 3 lis 2021, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 15 razy
Szacowanie, sinus cosinus
Ostatnio zmieniony 14 gru 2021, o 15:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
-
Tmkk
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Szacowanie, sinus cosinus
Jeśli chodzi o nierówność \(\displaystyle{ \sin{(x)} \le x}\) - wystarczy ją udowodnić dla \(\displaystyle{ x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)}\), bo dla większych iksów to jasne (lewa strona jest zawsze niewiększa od jedynki). Przy okazji, dla ujemnych, przez nieparzystość, mamy nierówność w drugą stronę.
Narysuj sobie koło o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) i środku \(\displaystyle{ S}\). Zaznacz sobie na brzegu tego koła (czyli okręgu) punkty \(\displaystyle{ A,B}\) takie, że \(\displaystyle{ \angle ASB = x}\) (czyli masz wycinek koła o kącie \(\displaystyle{ x}\)). Następnie zaznacz \(\displaystyle{ D}\) - rzut prostokątny punktu \(\displaystyle{ B}\) na \(\displaystyle{ AS}\) (tutaj ważne - \(\displaystyle{ D}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ S}\), bo założyliśmy, że kąt \(\displaystyle{ x}\) jest ostry). Policz sobie, ile wynosi długość łuku \(\displaystyle{ AB}\) oraz ile wynosi długość odcinka \(\displaystyle{ BD}\), to zobaczysz wyjściową nierówność.
Jeśłi chodzi o \(\displaystyle{ \sin{(x)} \ge \color{red}\frac{2}{\pi}\color{black}x}\) dla \(\displaystyle{ x\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]}\), to zauważ, że na tym przedziale funkcja \(\displaystyle{ \sin{(x)}}\) jest wklęsła, więc leży NAD prostą przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2}, \sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\right)}\). Jeśli nie miałaś pojęcia wklęsłości, popatrz na rysunek, bo pewnie wykres sinusa już nie raz rysowałaś. Jak napiszesz sobie równanie tej prostej, to wszystko powinno stać się jasne.
Jeśli chodzi o nierówność dla tangensa, to bardzo przydatna jest \(\displaystyle{ x \le \tan{(x)}}\) dla \(\displaystyle{ x\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]}\). To można udowodnić, jak się jeszcze popracuje z tym kołem, co dla sinusa, ale to może potem.
Narysuj sobie koło o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) i środku \(\displaystyle{ S}\). Zaznacz sobie na brzegu tego koła (czyli okręgu) punkty \(\displaystyle{ A,B}\) takie, że \(\displaystyle{ \angle ASB = x}\) (czyli masz wycinek koła o kącie \(\displaystyle{ x}\)). Następnie zaznacz \(\displaystyle{ D}\) - rzut prostokątny punktu \(\displaystyle{ B}\) na \(\displaystyle{ AS}\) (tutaj ważne - \(\displaystyle{ D}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ S}\), bo założyliśmy, że kąt \(\displaystyle{ x}\) jest ostry). Policz sobie, ile wynosi długość łuku \(\displaystyle{ AB}\) oraz ile wynosi długość odcinka \(\displaystyle{ BD}\), to zobaczysz wyjściową nierówność.
Jeśłi chodzi o \(\displaystyle{ \sin{(x)} \ge \color{red}\frac{2}{\pi}\color{black}x}\) dla \(\displaystyle{ x\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]}\), to zauważ, że na tym przedziale funkcja \(\displaystyle{ \sin{(x)}}\) jest wklęsła, więc leży NAD prostą przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2}, \sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\right)}\). Jeśli nie miałaś pojęcia wklęsłości, popatrz na rysunek, bo pewnie wykres sinusa już nie raz rysowałaś. Jak napiszesz sobie równanie tej prostej, to wszystko powinno stać się jasne.
Jeśli chodzi o nierówność dla tangensa, to bardzo przydatna jest \(\displaystyle{ x \le \tan{(x)}}\) dla \(\displaystyle{ x\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]}\). To można udowodnić, jak się jeszcze popracuje z tym kołem, co dla sinusa, ale to może potem.
