Szereg Taylora i lokalne minimum

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
student3764
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 4 lut 2016, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

Szereg Taylora i lokalne minimum

Post autor: student3764 »

Mam funkcję f dwóch zmiennych rozwiniętą w szereg Taylora w zerze w taki sposób:

\(\displaystyle{ \begin{align*}f(x,y)&=f(0,0)+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(0,0)x^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{3}f}{\partial x^{2} \partial y}(0,0)x^{2}y+\frac{1}{6}\frac{\partial^{3}f}{\partial x^{3}}(0,0)x^{3}+\\[1ex]&+\frac{1}{24}\frac{\partial^{4}f}{\partial y^{4}}(0,0)y^{4}+\frac{1}{6}\frac{\partial^{4}f}{\partial x \partial y^{3}}(0,0)xy^{3}+\frac{1}{4}\frac{\partial^{4}f}{\partial x^{2} \partial y^{2}}(0,0)x^{2}y^{2}+\frac{1}{6}\frac{\partial^{4}f}{\partial x^{3} \partial y}(0,0)x^{3}y+\frac{1}{24}\frac{\partial^{4}f}{\partial x^{4}}(0,0)x^{4}+R_{4}(x,y)\end{align*}}\)

Z treści zadania wiem, że niektóre z pochodnych cząstkowych wyżej niewymienionych są równe 0, stąd ich brak na górze. Dodatkowo wiem, że:

\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(0,0)>0,\frac{\partial^{4}f}{\partial y^{4}}(0,0)>0}\)

Mam pokazać, że f ma lokalne minimum w (0,0). Moim pomysłem jest, żeby oszacować jakoś tę funkcję od dołu, żeby pokazać, że jest zawsze większa lub równa f(0,0), przy czym równość będzie gdy x=y=0. Z nierówności wyżej widzę, że te dwa człony zawsze będą \(\displaystyle{ \ge 0}\) (same są większe od 0, a \(\displaystyle{ x^{2}, y^{4} \ge 0}\)). Problem mam jednak jak ugryźć szacowanie pozostałych członów. Jakieś pomysły?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Szereg Taylora i lokalne minimum

Post autor: Dasio11 »

Gdyby badaną funkcją było \(\displaystyle{ ax^2 + by^4}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a, b > 0}\), to w oczywisty sposób miałaby ona minimum lokalne w zerze. Nasza funkcja zaś jest równa powyższej plus pewne niewielkie zaburzenia - chodzi o pokazanie, że mają one za mały wpływ, by zepsuć fakt przyjmowania minimum. Przykładowo z nierówności między średnimi:

\(\displaystyle{ |xy^3| = |y| \cdot |xy^2| \le |y| \cdot \frac{x^2 + y^4}{2}}\)

a więc dla bardzo małych \(\displaystyle{ y}\) mamy

\(\displaystyle{ ax^2 + by^4 + cxy^3 \ge \frac{1}{2} ax^2 + \frac{1}{2} by^4}\).
student3764
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 4 lut 2016, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

Re: Szereg Taylora i lokalne minimum

Post autor: student3764 »

Dasio11 pisze: 28 lis 2021, o 11:39 \(\displaystyle{ |xy^3| = |y| \cdot |xy^2| \le |y| \cdot \frac{x^2 + y^4}{2}}\)

a więc dla bardzo małych \(\displaystyle{ y}\) mamy

\(\displaystyle{ ax^2 + by^4 + cxy^3 \ge \frac{1}{2} ax^2 + \frac{1}{2} by^4}\).
Pierwsza nierówność jest jasna, mógłbym jednak prosić o wyjaśnienie drugiej?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Szereg Taylora i lokalne minimum

Post autor: Dasio11 »

Dla \(\displaystyle{ |y| \le \frac{a+b}{|c|}}\) mamy na mocy pierwszej nierówności

\(\displaystyle{ |cxy^3| \le |c||y| \cdot \frac{x^2+y^4}{2} \le (a+b) \cdot \frac{x^2+y^4}{2} \le \frac{1}{2} ax^2 + \frac{1}{2} by^4}\)

a zatem

\(\displaystyle{ ax^2 + by^4 + cxy^3 \ge ax^2 + by^4 - |cxy^3| \ge ax^2 + by^4 - \left( \frac{1}{2} ax^2 + \frac{1}{2} by^4 \right) = \frac{1}{2} ax^2 + \frac{1}{2} by^4}\).

Oczywiście można by nawet wziąć dowolnie mały \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i w podobny sposób wywnioskować, że dla dostatecznie małych \(\displaystyle{ y}\) (coś koło \(\displaystyle{ \frac{a+b}{|c|} \cdot 2\varepsilon}\)) zajdzie

\(\displaystyle{ |cxy^3| \le \varepsilon \left( ax^2 + by^4 \right)}\)

i wtedy

\(\displaystyle{ ax^2 + by^4 + cxy^3 \ge (1-\varepsilon) \left( ax^2 + by^4 \right)}\).

Ideą tego rozumowania jest:

\(\displaystyle{ \text{dodatnie coś} + \text{ujemne bardzo małe coś} = \text{inne lecz nadal dodatnie coś}}\).
ODPOWIEDZ