Coś z tangensem

[a4karo]

Równanie \(\displaystyle{ x=\tg x}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie `x_k` w każdym przedziale postaci `(-\pi/2+k\pi, \pi/2+k\pi)` dla k=1,2,3,... .
Czy szereg `\sum_{k=1}^\infty \pi/2+k\pi -x_k` jest zbieżny?

[Math_Logic]

Gdy narysujesz sobie wykres tangensa i funkcji liniowej \(\displaystyle{ y = x,}\) to widać, że przedział \(\displaystyle{ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right) }\) jako jedyny zachowuje się nie tak jak trzeba, ale reszta zachowuje się już jak należy, czyli powtarza co \(\displaystyle{ \pi.}\)

\(\displaystyle{ x_1 < \frac{3\pi}{2},}\)

\(\displaystyle{ x_2 < \frac{3\pi}{2} + \pi = \frac{(3+2)\pi}{2},}\)

\(\displaystyle{ x_k < \frac{(3+2(k-1))\pi}{2} = \frac{(2k+1)\pi}{2},}\) dla \(\displaystyle{ k > 0.}\)



\(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty} \left( \frac{\pi}{2} + k\pi - x_k\right) > \lim_{k \to \infty} \left( \frac{\pi}{2} + k\pi - \frac{(2k+1)\pi}{2}\right)= \lim_{k \to \infty} \left( \frac{\pi + 2k\pi + 2k\pi + \pi}{2}\right) = 0.}\)

Szereg jest rozbieżny.

[a4karo]

Z tego, co napisałeś rozbieżność nijak nie wynika. W szczególności, z faktu, że `a_k>b_k` nie wynika, że ostra nierównośc zachodzi dla granic tych wyrażeń (`1/n>0`)

[Math_Logic]

Końcówkę przekombinowałem. Chciałem zbyt prosto...

Pomysł był taki, żeby pokazać, że \(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2} + k\pi - x_k\right) = \left( \frac{\pi}{2} + k\pi - \frac{(2k+1)\pi}{2}\right)+ t = 0+t = t,}\) gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest stałą dodatnią liczbą rzeczywistą. Co po tym przekształceniu sprowadza się do \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} t = +\infty. }\)