Hej,
Zastanawiam się czy z tego że szereg, o wyrazach nieujemnych, o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_n}\) jest zbieżny, to \(\displaystyle{ n\cdot a_n}\) musi dążyć do zera?
Dodano po 43 minutach 12 sekundach:
Ok, mam kontrprzykład dla
\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n = 2^k }\)
0 w przeciwnym przypadku.
W takim razie podkręcam pytanie.
A co gdy wyraz ogólny jest nierosnący (malejący)?
Zbieżność wyrazu ogólnego szeregu przemnożonego przez indeks
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Zbieżność wyrazu ogólnego szeregu przemnożonego przez indeks
Spróbuję rozwiązać podkręcone. Twierdszę, że \(\displaystyle{ na_{n}\stackrel{n\to \infty}\longrightarrow 0}\).
Łatwo widać, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) musi mieć wyrazy nieujemne.
Skoro \(\displaystyle{ \sum a_{n}}\) jest zbieżny, to warunek Cauchy'ego mówi nam, że dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N\in \NN}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ m>n\ge N, \ m,n\in \NN}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=n}^m a_{k}<\epsilon}\).
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ na_{n}}\) nie zbiega do zera. Innymi słowy, istnieje takie \(\displaystyle{ \delta>0}\), że dla nieskończenie wielu liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ na_{n}>\delta}\), a co za tym idzie, \(\displaystyle{ a_{n}>\frac{\delta}{n}}\).
W powyżej wspomnianym warunku Cauchy'ego dla szeregu \(\displaystyle{ \sum a_{n}}\) weźmy w szczególności \(\displaystyle{ \epsilon:=\frac{\delta}{2}}\).
Weźmy najmniejsze \(\displaystyle{ k\in \NN}\) o następujących własnościach: po pierwsze \(\displaystyle{ a_{k}>\frac{\delta}{k}}\), po drugie zaś \(\displaystyle{ \frac{k}{2}\ge N_{\frac{\delta}{2}}}\) (\(\displaystyle{ N}\) ma znaczenie jak wyżej w warunku Cauchy'ego).
Wówczas mamy \(\displaystyle{ \frac{\delta}{2}>a_{\left\lceil \frac{k}{2}\right\rceil}+\ldots+a_{k}>\frac{k-\left\lceil \frac{k}{2}\right\rceil+1}{k}\cdot \delta}\)
(korzystam tu istotnie z tego, że \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest nierosnący, podobnie jak przy orzekaniu o znaku \(\displaystyle{ a_{n}}\)).
Stąd mamy dla takiego \(\displaystyle{ k}\) nierówność
\(\displaystyle{ k>2\left(k-\left\lceil \frac k 2\right\rceil+1\right)}\). Nietrudno stwierdzić, że jest ona nieprawdziwa, wszak \(\displaystyle{ \left\lceil \frac k 2\right\rceil \le \frac{k+1}{2}}\) i, co za tym idzie, dostajemy absurd
\(\displaystyle{ k+1\ge 2\left\lceil \frac k 2\right\rceil >k+2}\). Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Dodano po 3 minutach 7 sekundach:
Yay, jak fajnie rozwiązać zadanie z matmy. ♥ ♥ ♥
Łatwo widać, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) musi mieć wyrazy nieujemne.
Skoro \(\displaystyle{ \sum a_{n}}\) jest zbieżny, to warunek Cauchy'ego mówi nam, że dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N\in \NN}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ m>n\ge N, \ m,n\in \NN}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=n}^m a_{k}<\epsilon}\).
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ na_{n}}\) nie zbiega do zera. Innymi słowy, istnieje takie \(\displaystyle{ \delta>0}\), że dla nieskończenie wielu liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ na_{n}>\delta}\), a co za tym idzie, \(\displaystyle{ a_{n}>\frac{\delta}{n}}\).
W powyżej wspomnianym warunku Cauchy'ego dla szeregu \(\displaystyle{ \sum a_{n}}\) weźmy w szczególności \(\displaystyle{ \epsilon:=\frac{\delta}{2}}\).
Weźmy najmniejsze \(\displaystyle{ k\in \NN}\) o następujących własnościach: po pierwsze \(\displaystyle{ a_{k}>\frac{\delta}{k}}\), po drugie zaś \(\displaystyle{ \frac{k}{2}\ge N_{\frac{\delta}{2}}}\) (\(\displaystyle{ N}\) ma znaczenie jak wyżej w warunku Cauchy'ego).
Wówczas mamy \(\displaystyle{ \frac{\delta}{2}>a_{\left\lceil \frac{k}{2}\right\rceil}+\ldots+a_{k}>\frac{k-\left\lceil \frac{k}{2}\right\rceil+1}{k}\cdot \delta}\)
(korzystam tu istotnie z tego, że \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest nierosnący, podobnie jak przy orzekaniu o znaku \(\displaystyle{ a_{n}}\)).
Stąd mamy dla takiego \(\displaystyle{ k}\) nierówność
\(\displaystyle{ k>2\left(k-\left\lceil \frac k 2\right\rceil+1\right)}\). Nietrudno stwierdzić, że jest ona nieprawdziwa, wszak \(\displaystyle{ \left\lceil \frac k 2\right\rceil \le \frac{k+1}{2}}\) i, co za tym idzie, dostajemy absurd
\(\displaystyle{ k+1\ge 2\left\lceil \frac k 2\right\rceil >k+2}\). Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Dodano po 3 minutach 7 sekundach:
Yay, jak fajnie rozwiązać zadanie z matmy. ♥ ♥ ♥
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10222
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Zbieżność wyrazu ogólnego szeregu przemnożonego przez indeks
W skrócie: oznaczając przez \(\displaystyle{ S_n}\) ciąg sum częściowych mamy \(\displaystyle{ S_n \to S}\), zatem
\(\displaystyle{ 0 \le 2k \cdot a_{2k} \le 2 \cdot (a_{k+1} + a_{k+2} + \ldots + a_{2k}) = 2 (S_{2k} - S_k) \to 0}\).
Podobnie szacujemy \(\displaystyle{ (2k+1) a_{2k+1}}\), dostając łącznie \(\displaystyle{ n a_n \to 0}\).
\(\displaystyle{ 0 \le 2k \cdot a_{2k} \le 2 \cdot (a_{k+1} + a_{k+2} + \ldots + a_{2k}) = 2 (S_{2k} - S_k) \to 0}\).
Podobnie szacujemy \(\displaystyle{ (2k+1) a_{2k+1}}\), dostając łącznie \(\displaystyle{ n a_n \to 0}\).