Definicja szeregu liczbowego.

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Definicja szeregu liczbowego.

Post autor: Bran »

Jeżeli \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest nieskończonym ciągiem liczbowym, to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) definiuje się jako ciąg sum częściowych \(\displaystyle{ S_n}\) gdzie \(\displaystyle{ S_n = a_1+a_2+\ldots +a_n}\)

Czy mam zatem rozumieć, że jeżeli \(\displaystyle{ a_n = n,}\) to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n =(1, 3, 6, 10,...)}\) to wygląda strasznie, ale jak mam to inaczej rozumieć?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Definicja szeregu liczbowego.

Post autor: Janusz Tracz »

Bran pisze: 16 sie 2021, o 23:18 to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) definiuje się jako ciąg sum częściowych \(\displaystyle{ S_n}\) gdzie \(\displaystyle{ S_n = a_1+a_2+\ldots +a_n}\)
Nie jako ciąg sum częściowych tylko jako granicę ciągu sum częściowych. Czyli
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } a_k = \lim_{ n\to \infty } S_n.}\)
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Definicja szeregu liczbowego.

Post autor: Bran »

Powtarzano mi wielokrotnie, że szereg to ciąg. Patrząc w Internecie spotkałem się z tym, że szereg jest parą dwóch ciągów.

Kod: Zaznacz cały

https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/tiki-index.php?page=Definicja+szeregu+liczbowego


Zawsze mi wystarczało to, co napisałeś, ale dostałem pytanie od znajomego i zwrócił mi na to uwagę. Niestety nie umiałem mu odpowiedzieć. Żyłem w przekonaniu, że szereg to ciąg, nie granica.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Definicja szeregu liczbowego.

Post autor: a4karo »

Janusz Tracz pisze: 17 sie 2021, o 00:00
Bran pisze: 16 sie 2021, o 23:18 to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) definiuje się jako ciąg sum częściowych \(\displaystyle{ S_n}\) gdzie \(\displaystyle{ S_n = a_1+a_2+\ldots +a_n}\)
Nie jako ciąg sum częściowych tylko jako granicę ciągu sum częściowych. Czyli
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } a_k = \lim_{ n\to \infty } S_n.}\)
A nie słyszałeś o szeregach rozbieżnych? Mylisz pojęcia szeregu i sumy szeregu
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Definicja szeregu liczbowego.

Post autor: matmatmm »

Też przedstawiono mi na studiach definicję, że szereg to ciąg sum częściowych. Potem na tych samych studiach usłyszałem, że ciąg sum częściowych to ciąg sum częściowych, a szereg to szereg. Ten wykładowca powiedział, że szeregu definiował nie będzie.
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Definicja szeregu liczbowego.

Post autor: Bran »

a4karo pisze: 17 sie 2021, o 08:34 Mylisz pojęcia szeregu i sumy szeregu
A odważyłbyś się powiedzieć czym jest szereg? Domyślam się, że to może być dość skomplikowana lub subtelna rzecz, dlatego pytam czy byś chciał się podjąć.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Definicja szeregu liczbowego.

Post autor: Janusz Tracz »

Bran pisze: 17 sie 2021, o 13:17
a4karo pisze: 17 sie 2021, o 08:34 Mylisz pojęcia szeregu i sumy szeregu
@Bran to było do mnie jak coś. To ja nie wiem czym jest szereg ani jego suma. Twoja definicja pewnie jest ok.
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Definicja szeregu liczbowego.

Post autor: Bran »

Janusz Tracz pisze: 17 sie 2021, o 13:47 @Bran to było do mnie jak coś.
Wiem, ale a4karo powiedział, że nie masz racji, tylko niestety nie dodał do tego nic konstruktywnego (w sensie nadal nie wiem czym jest szereg, wiem czym nie jest). To jest jakaś wartość, ale jednak nie wyczerpuje pytania, więc proszę go aby rozwinął jeśli ma chęć.
Janusz Tracz pisze: 17 sie 2021, o 13:47 To ja nie wiem czym jest szereg ani jego suma. Twoja definicja pewnie jest ok.
Nie bierz tego do siebie, uważam że jesteś kompetentny i pomocny. A co do definicji, którą podlinkowałem - niestety nic mi ona nie mówi. Jestem w stanie przyjąć, że to prawda, ale z czym to się je i jak z tego korzystać - już nie wiem, nie rozumiem.
ODPOWIEDZ