suma szeregu z potęgą
-
- Użytkownik
- Posty: 588
- Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 4 razy
suma szeregu z potęgą
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} }\)
Na pewno szereg jest zbieżny, bo dąży do 0. Pytanie tylko jak wyznaczyć sumę. Ani to ciąg geometryczny, ani arytmetyczny.
Na pewno szereg jest zbieżny, bo dąży do 0. Pytanie tylko jak wyznaczyć sumę. Ani to ciąg geometryczny, ani arytmetyczny.
-
- Administrator
- Posty: 34287
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: suma szeregu z potęgą
Abstrahując od tego, że to niepoprawny argument za zbieżnością szeregu, jego sumę można wyznaczyć metodą zaburzania sum.
-
- Administrator
- Posty: 34287
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: suma szeregu z potęgą
W szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }\) też mianownik narasta szybciej niż licznik, a zbieżny nie jest... Mylisz warunek konieczny zbieżności szerego z warunkiem dostatecznym.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 588
- Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: suma szeregu z potęgą
No to popatrzmy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} +\frac{2}{25} + \frac{3}{125} + ... = 0.2 + 0.08 + 0.024 + ...}\)
Widać, że kolejne wyrazy są coraz mniejsze?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{5^{n+1}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n+1}}+\frac{1}{5^{n+1}}}\)
Dodano po 42 sekundach:
Racja. Czuję to.Jan Kraszewski pisze: ↑17 cze 2021, o 14:18W szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }\) też mianownik narasta szybciej niż licznik, a zbieżny nie jest... Mylisz warunek konieczny zbieżności szerego z warunkiem dostatecznym.
JK
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 588
- Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: suma szeregu z potęgą
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n+1}}+\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{5^{n+1}}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}}+ \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)
\(\displaystyle{ 5 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = 1 + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}}+ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)
\(\displaystyle{ 4 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = 1 + \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)
Mamy ciąg geometryczny z prawej:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)
\(\displaystyle{ q = \frac{1}{5} }\)
\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{1}{5} }\)
\(\displaystyle{ S_{n} = \frac{a_{1}}{1-q} = \frac{ \frac{1}{5} }{1- \frac{1}{5} }= \frac{1}{4} }\)
Wracamy...
\(\displaystyle{ 4 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{16} }\)
A tyle wynosi poprawna odpowiedź
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}}+ \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)
\(\displaystyle{ 5 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = 1 + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}}+ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)
\(\displaystyle{ 4 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = 1 + \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)
Mamy ciąg geometryczny z prawej:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)
\(\displaystyle{ q = \frac{1}{5} }\)
\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{1}{5} }\)
\(\displaystyle{ S_{n} = \frac{a_{1}}{1-q} = \frac{ \frac{1}{5} }{1- \frac{1}{5} }= \frac{1}{4} }\)
Wracamy...
\(\displaystyle{ 4 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{16} }\)
A tyle wynosi poprawna odpowiedź