Zbieżność szeregu

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: kt26420 »

Zbadać zbieżność szeregów
a) $$\sum^{ \infty }_{n=2}
\frac {\ln(n+1)−\ln(n)} {n^ \alpha } $$
w zależności od $$ \alpha >0.$$


Czy można to oszacować jako:
$$\ln(n+1)−\ln(n) = \ln\left(1+ \frac{1}{n}\right) \le \ln(e) = 1$$
$$\sum^{ \infty }_{n=2} \frac {\ln(n+1)−\ln(n)} {n^ \alpha } \le \sum^{ \infty }_{n=2} \frac {1} {n^ \alpha } $$ - zbieżny przy $$ \alpha >1 $$?
Ostatnio zmieniony 14 cze 2021, o 15:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Zbieżność szeregu

Post autor: matmatmm »

Pomijając niestandardowy (niepoprawny?) zapis \(\displaystyle{ \sum_{\infty}^{n=2}}\) zamiast \(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=2}}\), rozumowanie jest poprawne. Nie jest to jednak pełne rozwiązanie, bo trzeba zbadać jeszcze zbieżność dla \(\displaystyle{ \alpha \leq 1}\).
ODPOWIEDZ