Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 18 razy

Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg

Post autor: guserd »

Niech \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_{k}}\) - zbieżny bezwzględnie szereg i
\( (c_{k})_{k \in \mathbb{N}} \) - zbieżny ciąg w liczbach rzeczywistych

Pokaż za pomocą kryterium porównawczego, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty c_{k} a_{k}}\) jest zbieżny bezwzględnie.

Zbytnio nie wiem od czego tutaj zacząć, bo ciężko jest cokolwiek oszacować, ze względu że nie wiemy nic o monotoniczności ciągów \( a_{k} \) oraz \(c_{k} \).

Wydaje mi się, że trzeba skorzystać z tego, że granica \( a_{k} = 0 \) oraz granica \( c_{k} = c \), nie wiem tylko zbytnio jak.

Za każde wskazówki dziękuję.
Ostatnio zmieniony 5 cze 2021, o 14:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg

Post autor: a4karo »

Ciąg jest zbieżny, więć jest ograniczony. To wystarczy. Szacuj tak grubo jak tylko możesz - tu nie mamy żadnych subtelności.
Ostatnio zmieniony 5 cze 2021, o 14:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 18 razy

Re: Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg

Post autor: guserd »

czyli wystarczy \( |c_{k} a_{k}| \leq a_{k} \)?
tylko zbytnio nie rozumiem dlaczego to jest poprawne ( o ile jest), bo jeżeli \( c_{k} \) jest ograniczony to wtedy obowiązuje \( |c_{k}| < K \) ale jak to wpływa na te szacownie?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg

Post autor: Jan Kraszewski »

guserd pisze: 5 cze 2021, o 15:21 tylko zbytnio nie rozumiem dlaczego to jest poprawne ( o ile jest),
Nie jest.
guserd pisze: 5 cze 2021, o 15:21 jeżeli \( c_{k} \) jest ograniczony to wtedy obowiązuje \( |c_{k}| < K \) ale jak to wpływa na te szacownie?
Pomyśl jak to zrobić, żeby wpływało.

JK
guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 18 razy

Re: Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg

Post autor: guserd »

Wydaje mi się, że już zrozumiałem, powinno być: \( |c_{k} a_{k}| \leq K a_{k} \).
Ostatnio zmieniony 5 cze 2021, o 16:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg

Post autor: Jan Kraszewski »

Lepiej, ale to jeszcze nieprawda. Pomyśl o tym, że ciąg \(\displaystyle{ a_k}\) może mieć wyrazy ujemne.

JK
guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 18 razy

Re: Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg

Post autor: guserd »

a już rozumiem, ze względu na bezwzględną zbieżność szeregu mamy \( |c_{k}a_{k}| \leq K|a_{k}| \)
ODPOWIEDZ