Niech \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_{k}}\) - zbieżny bezwzględnie szereg i
\( (c_{k})_{k \in \mathbb{N}} \) - zbieżny ciąg w liczbach rzeczywistych
Pokaż za pomocą kryterium porównawczego, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty c_{k} a_{k}}\) jest zbieżny bezwzględnie.
Zbytnio nie wiem od czego tutaj zacząć, bo ciężko jest cokolwiek oszacować, ze względu że nie wiemy nic o monotoniczności ciągów \( a_{k} \) oraz \(c_{k} \).
Wydaje mi się, że trzeba skorzystać z tego, że granica \( a_{k} = 0 \) oraz granica \( c_{k} = c \), nie wiem tylko zbytnio jak.
Za każde wskazówki dziękuję.
Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 18 razy
Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg
Ostatnio zmieniony 5 cze 2021, o 14:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg
Ciąg jest zbieżny, więć jest ograniczony. To wystarczy. Szacuj tak grubo jak tylko możesz - tu nie mamy żadnych subtelności.
Ostatnio zmieniony 5 cze 2021, o 14:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 18 razy
Re: Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg
czyli wystarczy \( |c_{k} a_{k}| \leq a_{k} \)?
tylko zbytnio nie rozumiem dlaczego to jest poprawne ( o ile jest), bo jeżeli \( c_{k} \) jest ograniczony to wtedy obowiązuje \( |c_{k}| < K \) ale jak to wpływa na te szacownie?
tylko zbytnio nie rozumiem dlaczego to jest poprawne ( o ile jest), bo jeżeli \( c_{k} \) jest ograniczony to wtedy obowiązuje \( |c_{k}| < K \) ale jak to wpływa na te szacownie?
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg
Nie jest.
Pomyśl jak to zrobić, żeby wpływało.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 18 razy
Re: Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg
Wydaje mi się, że już zrozumiałem, powinno być: \( |c_{k} a_{k}| \leq K a_{k} \).
Ostatnio zmieniony 5 cze 2021, o 16:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg
Lepiej, ale to jeszcze nieprawda. Pomyśl o tym, że ciąg \(\displaystyle{ a_k}\) może mieć wyrazy ujemne.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 18 razy
Re: Iloczyn, zbieżny bezwzględnie szereg, zbieżny ciąg
a już rozumiem, ze względu na bezwzględną zbieżność szeregu mamy \( |c_{k}a_{k}| \leq K|a_{k}| \)