Udowodnij że dla wszystkich x całkowitych, większych od zera \(\displaystyle{ \left( 1+3x\right) ^{3x} \ge 2\left( 3x\right) ^{3x} }\)
Myślę, że na początku można tezę przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+3x}{3x} \right) ^{3x} \ge 2}\)
Z geogebry widzę, że lewa strona jest rosnąca. Jeśli lewą stronę rozważę jako ciąg i udowodnię, że jest rosnący a dla x=1 nierówność jest spełniona (wystarczy policzyć, że to około 2,37) to zadanie, zdaje się, będzie zrobione.
Sposób jaki znam to pokazanie, że \(\displaystyle{ a _{n} < a _{n+1} }\) ale do niczego łatwiejszego mnie to nie doprowadza...
Udowodnij że dla wszystkich x całkowitych, większych od zera
-
- Administrator
- Posty: 34126
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Udowodnij że dla wszystkich x całkowitych, większych od zera
Przecież to jest podciąg ciągu \(\displaystyle{ a_n=\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n }\), a którym wiadomo, że jest rosnący (i zbiega do \(\displaystyle{ e}\)) oraz \(\displaystyle{ a_1=2}\).sp1729 pisze: ↑30 maja 2021, o 17:21Myślę, że na początku można tezę przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+3x}{3x} \right) ^{3x} \ge 2}\)
Z geogebry widzę, że lewa strona jest rosnąca. Jeśli lewą stronę rozważę jako ciąg i udowodnię, że jest rosnący a dla x=1 nierówność jest spełniona (wystarczy policzyć, że to około 2,37) to zadanie, zdaje się, będzie zrobione.
Dowod na granicę z liczbą e
Punkt 3.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 18 kwie 2020, o 22:31
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 5 razy
Re: Udowodnij że dla wszystkich x całkowitych, większych od zera
Dziękuję za odpowiedź,
nigdy w szkole nie miałem do czynienia z podciągami, poczytam o tym
nigdy w szkole nie miałem do czynienia z podciągami, poczytam o tym
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Udowodnij że dla wszystkich x całkowitych, większych od zera
Łatwiej z nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{3x}\right)^{3x} \ge 1+\frac{1}{3x} \cdot 3x = 2}\).
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{3x}\right)^{3x} \ge 1+\frac{1}{3x} \cdot 3x = 2}\).
-
- Administrator
- Posty: 34126
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Udowodnij że dla wszystkich x całkowitych, większych od zera
Tys prowda.
JK
PS
Za to sposób trudniejszy daje szansę na poszerzenie horyzontów.