Uzasadnić równość sum

[41421356]

Uzasadnić, że zachodzi poniższa równość:

\(\displaystyle{ 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{\left(2n\right)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(2n\right)^2}}\)

Trochę się pogubiłem w rozpisywaniu tego.

[Janusz Tracz]

Można pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ 4}\) i mamy równoważnie coś takiego \(\displaystyle{ 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\)

teraz zapisze niechlujnie ścianę znaczków która ma robić za wskazówkę

\(\displaystyle{ \begin{split}
2\sum \frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n^2} &= 2\sum \frac{\left(-1\right)^{2k+1}}{(2k)^2}+2\sum \frac{\left(-1\right)^{2k+1+1}}{(2k+1)^2} \\
& = -\frac{1}{2} \sum \frac{1}{k^2}+ 2 \sum \frac{1}{(2k+1)^2} \\
& = -\frac{1}{2} \sum \frac{1}{k^2} + 2 \sum \frac{1}{(2k+1)^2}+\red{2 \sum \frac{1}{(2k)^2} }-\red{2 \sum \frac{1}{(2k)^2} } \\
& = -\frac{1}{2} \sum \frac{1}{k^2} - \red{ \frac{1}{2} \sum \frac{1}{k^2} } + 2 \left( \sum \frac{1}{(2k+1)^2}+ \red{\sum \frac{1}{(2k)^2} }\right) \\
& = - \sum \frac{1}{k^2} + 2 \sum \frac{1}{k^2} \\
& = \sum \frac{1}{k^2}
\end{split}}\)

Można też policzyć rozwinięcie \(\displaystyle{ x^2}\) w szereg Fouriera i otrzymać taki wzór

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\cos(nx)}{n^{2}}=\frac{x^{2}}{4}-\frac{\pi^{2}}{12}}\)

kładziemy \(\displaystyle{ x=0}\) i gotowe... o ile możemy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n^2}=\pi^2/6 }\) ale to ostatnio liczyłeś więc zakładam, że tak.

[41421356]

No tak, ta zależność wzięła się ze studiowania zadania dotyczącego szeregów Fouriera, które ostatnio wrzuciłem. Dziękuję bardzo za pomoc i pozdrawiam!