Wyznaczyć sumy szeregów

[41421356]

Danajest funkcja o okresie równym \(\displaystyle{ 2\pi}\):

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x^2 &\text{, } x \in\left(0,2\pi\right)\\2\pi^2 &\text{, } x=0 \end{cases}}\)

Używając rozwinięcia powyższej funkcji w szereg Fouriera wyznaczyć sumy szeregów:

a.) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\)

b.) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(2n-1\right)^2}}\)

Jak taką funkcję rozwinąć w szereg? A dokładniej, co z tym punktem nieciągłości?

[Janusz Tracz]

Jesteś pewien, że ta funkcja tak została zdefiniowana? Bo zwykle chcemy rozwijać coś co jest określone na \(\displaystyle{ \left[ -\pi,\pi\right] }\) i jest okresowo przedłużane na całe \(\displaystyle{ \RR}\). Oczywiście można się z tu jakoś wykpić szeregiem sinusów czy cosinusów ale to jakieś straszne obliczenia wychodzą... a jeśli o punkty nieciągłości chodzi to szereg Fouriera funkcji kawałkami \(\displaystyle{ \mathcal{C}^1}\) jest zbieżny do w punktach ciągłości, a w punktach nieciągłości typu skok jest zbieżny do średniej arytmetycznej granic jednostronnych w skoku

Kod: Zaznacz cały

https://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/convergencefourierseries.aspx

albo

Kod: Zaznacz cały

https://people.math.carleton.ca/~mneufang/vorl/Fseries_1/node8.html

.

[41421356]

Dokładnie tak jest ta funkcja zdefiniowana. Z tym niesymetrycznym przedziałem dałbym sobie radę, chodzi mi głównie o tą wartość w zerze. Jak to uwzględnić w rozwinięciu?

[Janusz Tracz]

Skoro przedział jest niesymetryczny to rozumiem, że dookreślasz tę funkcję w sposób parzysty bądź nie parzysty na całym \(\displaystyle{ (-2\pi,2\pi)}\). Jeśli tak to napisz bardzo dokładnie definicję funkcji jaką rozwijasz w szereg. Pamiętaj jeszcze o tym, że na koniec to ma być przedłużane okresowo na \(\displaystyle{ \RR}\). W punktach nieciągłości szereg będzie zbieżny do odpowiedniej średniej o której możesz przeczytać w linku który wysłałem.

[Dasio11]

Przecież to żadna różnica czy funkcja jest określona na \(\displaystyle{ [-\pi, \pi)}\) czy \(\displaystyle{ [0, 2 \pi)}\) - tak czy inaczej ma ona jednoznaczne przedłużenie do funkcji na \(\displaystyle{ \RR}\) o okresie \(\displaystyle{ 2 \pi}\).

[Janusz Tracz]

Jeśli powiemy, że \(\displaystyle{ f}\) ma być \(\displaystyle{ 2\pi}\) okresowa to ok. Rozwijamy wtedy

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} (x+2\pi)^2 \text{ dla } x\in \left[ -\pi,0\right) \\ 2\pi^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x=0 \\ x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left( 0,\pi\right) \end{cases} }\)

na \(\displaystyle{ \left[- \pi,\pi\right) }\) przedłużoną na \(\displaystyle{ \RR}\). To wydaje mi się mało naturalne (w kontekście tego zadani) ale ok. Rachunki są okropne. Ja chciałem się po prostu dowiedzieć czy autor nie miał na myśli tego

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left[ -2\pi,0\right) \\ 2\pi^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x=0 \\ x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left( 0,2\pi\right) \end{cases} \ \ \text{ lub } \ \ f(x)= \begin{cases}-x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left[ -2\pi,0\right) \\ 2\pi^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x=0 \\ x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left( 0,2\pi\right) \end{cases} }\)

tak nie są to funkcje \(\displaystyle{ 2\pi}\) okresowe ale podejrzenie wydawało się uzasadnione skoro to ma posłużyć do policzenia jakichś szeregów.

[Dasio11]

Jeśli powiemy, że \(\displaystyle{ f}\) ma być \(\displaystyle{ 2\pi}\) okresowa to ok.

I owszem:

Danajest funkcja o okresie równym \(\displaystyle{ 2\pi}\)

Rozwijamy wtedy

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} (x+2\pi)^2 \text{ dla } x\in \left[ -\pi,0\right) \\ 2\pi^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x=0 \\ x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left( 0,\pi\right) \end{cases} }\)

na \(\displaystyle{ \left[- \pi,\pi\right) }\) przedłużoną na \(\displaystyle{ \RR}\). To wydaje mi się mało naturalne (w kontekście tego zadani) ale ok. Rachunki są okropne.

Rachunki są zupełnie bezbolesne jeśli korzysta się ze wzorów dla przedziału \(\displaystyle{ [0, 2\pi)}\) - to Ty przesuwając na siłę funkcję do przedziału \(\displaystyle{ [-\pi, \pi)}\) utrudniasz sobie życie.

[41421356]

Otóż to! Wzory na współczynniki szeregu Fouriera dla przedziału \(\displaystyle{ \left(c,c+2\pi\right)}\) są dosyć standardowe. Co do samego rozwiązania zadania, to już mam pewne przypuszczenia. Zapewne finalnie w którymś z tych dwóch podpunktów będę musiał policzyć wartość mojej rozwiniętej funkcji w zerze właśnie i stąd tak konkretnie określona funkcja, aby wyszła prawidłowa suma szeregu.

Dodano po 17 godzinach 43 minutach 29 sekundach:
Edit: Już policzyłem. O ile pierwszy podpunkt jest banalny, o tyle z drugim trochę musiałem się nagłówkować. Ale już poszło na szczęście.

Dodano po 2 dniach 6 godzinach 15 minutach 56 sekundach:
Edit2: Ma Ktoś z Was pomysł jak policzyć ten drugi szereg? Ja liczyłem \(\displaystyle{ f\left(\frac{\pi}{2}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ f\left(\frac{3\pi}{2}\right)}\) i dodawałem stronami otrzymane równania. Może da się to zrobić sprytniej/szybciej? Poniżej rozwinięta w szereg funkcja:

\(\displaystyle{ f\left(x\right)=\frac{4\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2}\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-4\pi}{n}\right)\sin nx}\)

[Dasio11]

Pierwszy sposób:

\(\displaystyle{ f(0) - f(\pi) = \left( \frac{4 \pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} \right) - \left( \frac{4 \pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} \cdot (-1)^n \right) \\[1ex]
2 \pi^2 - \pi^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} \big( 1 - (-1)^n \big) \\[1ex]
\pi^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{(2n-1)^2} \\[1ex]
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}}\)

Drugi sposób:

\(\displaystyle{ \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} \\[2ex]
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} - \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{8}}\)

[41421356]

Bardzo dziękuję! Teraz już wiem, że można było policzyć to szybciej.