Wyznaczyć sumy szeregów
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Wyznaczyć sumy szeregów
Danajest funkcja o okresie równym \(\displaystyle{ 2\pi}\):
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x^2 &\text{, } x \in\left(0,2\pi\right)\\2\pi^2 &\text{, } x=0 \end{cases}}\)
Używając rozwinięcia powyższej funkcji w szereg Fouriera wyznaczyć sumy szeregów:
a.) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\)
b.) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(2n-1\right)^2}}\)
Jak taką funkcję rozwinąć w szereg? A dokładniej, co z tym punktem nieciągłości?
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x^2 &\text{, } x \in\left(0,2\pi\right)\\2\pi^2 &\text{, } x=0 \end{cases}}\)
Używając rozwinięcia powyższej funkcji w szereg Fouriera wyznaczyć sumy szeregów:
a.) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\)
b.) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(2n-1\right)^2}}\)
Jak taką funkcję rozwinąć w szereg? A dokładniej, co z tym punktem nieciągłości?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Wyznaczyć sumy szeregów
Jesteś pewien, że ta funkcja tak została zdefiniowana? Bo zwykle chcemy rozwijać coś co jest określone na \(\displaystyle{ \left[ -\pi,\pi\right] }\) i jest okresowo przedłużane na całe \(\displaystyle{ \RR}\). Oczywiście można się z tu jakoś wykpić szeregiem sinusów czy cosinusów ale to jakieś straszne obliczenia wychodzą... a jeśli o punkty nieciągłości chodzi to szereg Fouriera funkcji kawałkami \(\displaystyle{ \mathcal{C}^1}\) jest zbieżny do w punktach ciągłości, a w punktach nieciągłości typu skok jest zbieżny do średniej arytmetycznej granic jednostronnych w skoku albo .
Kod: Zaznacz cały
https://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/convergencefourierseries.aspx
Kod: Zaznacz cały
https://people.math.carleton.ca/~mneufang/vorl/Fseries_1/node8.html
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wyznaczyć sumy szeregów
Dokładnie tak jest ta funkcja zdefiniowana. Z tym niesymetrycznym przedziałem dałbym sobie radę, chodzi mi głównie o tą wartość w zerze. Jak to uwzględnić w rozwinięciu?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Wyznaczyć sumy szeregów
Skoro przedział jest niesymetryczny to rozumiem, że dookreślasz tę funkcję w sposób parzysty bądź nie parzysty na całym \(\displaystyle{ (-2\pi,2\pi)}\). Jeśli tak to napisz bardzo dokładnie definicję funkcji jaką rozwijasz w szereg. Pamiętaj jeszcze o tym, że na koniec to ma być przedłużane okresowo na \(\displaystyle{ \RR}\). W punktach nieciągłości szereg będzie zbieżny do odpowiedniej średniej o której możesz przeczytać w linku który wysłałem.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Wyznaczyć sumy szeregów
Przecież to żadna różnica czy funkcja jest określona na \(\displaystyle{ [-\pi, \pi)}\) czy \(\displaystyle{ [0, 2 \pi)}\) - tak czy inaczej ma ona jednoznaczne przedłużenie do funkcji na \(\displaystyle{ \RR}\) o okresie \(\displaystyle{ 2 \pi}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Wyznaczyć sumy szeregów
Jeśli powiemy, że \(\displaystyle{ f}\) ma być \(\displaystyle{ 2\pi}\) okresowa to ok. Rozwijamy wtedy
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} (x+2\pi)^2 \text{ dla } x\in \left[ -\pi,0\right) \\ 2\pi^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x=0 \\ x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left( 0,\pi\right) \end{cases} }\)
na \(\displaystyle{ \left[- \pi,\pi\right) }\) przedłużoną na \(\displaystyle{ \RR}\). To wydaje mi się mało naturalne (w kontekście tego zadani) ale ok. Rachunki są okropne. Ja chciałem się po prostu dowiedzieć czy autor nie miał na myśli tego
tak nie są to funkcje \(\displaystyle{ 2\pi}\) okresowe ale podejrzenie wydawało się uzasadnione skoro to ma posłużyć do policzenia jakichś szeregów.
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} (x+2\pi)^2 \text{ dla } x\in \left[ -\pi,0\right) \\ 2\pi^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x=0 \\ x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left( 0,\pi\right) \end{cases} }\)
na \(\displaystyle{ \left[- \pi,\pi\right) }\) przedłużoną na \(\displaystyle{ \RR}\). To wydaje mi się mało naturalne (w kontekście tego zadani) ale ok. Rachunki są okropne. Ja chciałem się po prostu dowiedzieć czy autor nie miał na myśli tego
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left[ -2\pi,0\right) \\ 2\pi^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x=0 \\ x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left( 0,2\pi\right) \end{cases} \ \ \text{ lub } \ \ f(x)= \begin{cases}-x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left[ -2\pi,0\right) \\ 2\pi^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x=0 \\ x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left( 0,2\pi\right) \end{cases} }\)
tak nie są to funkcje \(\displaystyle{ 2\pi}\) okresowe ale podejrzenie wydawało się uzasadnione skoro to ma posłużyć do policzenia jakichś szeregów.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Wyznaczyć sumy szeregów
I owszem:Janusz Tracz pisze: ↑14 maja 2021, o 11:38Jeśli powiemy, że \(\displaystyle{ f}\) ma być \(\displaystyle{ 2\pi}\) okresowa to ok.
Rachunki są zupełnie bezbolesne jeśli korzysta się ze wzorów dla przedziału \(\displaystyle{ [0, 2\pi)}\) - to Ty przesuwając na siłę funkcję do przedziału \(\displaystyle{ [-\pi, \pi)}\) utrudniasz sobie życie.Janusz Tracz pisze: ↑14 maja 2021, o 11:38Rozwijamy wtedy
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} (x+2\pi)^2 \text{ dla } x\in \left[ -\pi,0\right) \\ 2\pi^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x=0 \\ x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left( 0,\pi\right) \end{cases} }\)
na \(\displaystyle{ \left[- \pi,\pi\right) }\) przedłużoną na \(\displaystyle{ \RR}\). To wydaje mi się mało naturalne (w kontekście tego zadani) ale ok. Rachunki są okropne.
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wyznaczyć sumy szeregów
Otóż to! Wzory na współczynniki szeregu Fouriera dla przedziału \(\displaystyle{ \left(c,c+2\pi\right)}\) są dosyć standardowe. Co do samego rozwiązania zadania, to już mam pewne przypuszczenia. Zapewne finalnie w którymś z tych dwóch podpunktów będę musiał policzyć wartość mojej rozwiniętej funkcji w zerze właśnie i stąd tak konkretnie określona funkcja, aby wyszła prawidłowa suma szeregu.
Dodano po 17 godzinach 43 minutach 29 sekundach:
Edit: Już policzyłem. O ile pierwszy podpunkt jest banalny, o tyle z drugim trochę musiałem się nagłówkować. Ale już poszło na szczęście.
Dodano po 2 dniach 6 godzinach 15 minutach 56 sekundach:
Edit2: Ma Ktoś z Was pomysł jak policzyć ten drugi szereg? Ja liczyłem \(\displaystyle{ f\left(\frac{\pi}{2}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ f\left(\frac{3\pi}{2}\right)}\) i dodawałem stronami otrzymane równania. Może da się to zrobić sprytniej/szybciej? Poniżej rozwinięta w szereg funkcja:
\(\displaystyle{ f\left(x\right)=\frac{4\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2}\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-4\pi}{n}\right)\sin nx}\)
Dodano po 17 godzinach 43 minutach 29 sekundach:
Edit: Już policzyłem. O ile pierwszy podpunkt jest banalny, o tyle z drugim trochę musiałem się nagłówkować. Ale już poszło na szczęście.
Dodano po 2 dniach 6 godzinach 15 minutach 56 sekundach:
Edit2: Ma Ktoś z Was pomysł jak policzyć ten drugi szereg? Ja liczyłem \(\displaystyle{ f\left(\frac{\pi}{2}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ f\left(\frac{3\pi}{2}\right)}\) i dodawałem stronami otrzymane równania. Może da się to zrobić sprytniej/szybciej? Poniżej rozwinięta w szereg funkcja:
\(\displaystyle{ f\left(x\right)=\frac{4\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2}\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-4\pi}{n}\right)\sin nx}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Wyznaczyć sumy szeregów
Pierwszy sposób:
\(\displaystyle{ f(0) - f(\pi) = \left( \frac{4 \pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} \right) - \left( \frac{4 \pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} \cdot (-1)^n \right) \\[1ex]
2 \pi^2 - \pi^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} \big( 1 - (-1)^n \big) \\[1ex]
\pi^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{(2n-1)^2} \\[1ex]
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}}\)
Drugi sposób:
\(\displaystyle{ \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} \\[2ex]
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} - \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{8}}\)
\(\displaystyle{ f(0) - f(\pi) = \left( \frac{4 \pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} \right) - \left( \frac{4 \pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} \cdot (-1)^n \right) \\[1ex]
2 \pi^2 - \pi^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} \big( 1 - (-1)^n \big) \\[1ex]
\pi^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{(2n-1)^2} \\[1ex]
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}}\)
Drugi sposób:
\(\displaystyle{ \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} \\[2ex]
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} - \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{8}}\)